Limite

[fabiett1]

Come procedo per risolvere il seguente limite?
$lim_(x -> 1^-) 2^((1 / (1 - x))^(1 / (x - 1))) $

Il risultato è 1.

[francicko]

Se il limite di $(2^(1/(1-x)))^(1/(x-1))$ deve essere calcolato nel punto $x=1$ dovrebbe svolgersi cosi:
osserva che $(2^(1/(1-x )))^(1/(x-1)) $ $=(2^(1/(1-x)^2))^(-1) $ $=(2^(-1))^(1/(1-x)^2)$ $=(1/2)^(1/(1-x)^2) $ $=1/(2^(1/(1-x)^2)) $
Pertanto sarà essendo $(1-x)^2>=0$ per $x>=1$ od $x<=1$ , $lim_(x->1^+)1/(1/2^((1-x)^2) $ $=lim_(x->1^-)1/(2^(1/(1-x)^2)) $ $=1/2^(1/0) $ $=1/2^(infty)=0$, coincidendo il limite sinistro con il destro possiamo scrivere $lim_(x->1)(2^(1/(1-x)))^(1/(x-1))=0$

[fabiett1]

Chiedo scusa per l'incompletezza. Ho corretto il testo.

[francicko]

Il limite che avevo calcolato precedentemente era $lim(2^(1/(1-x)))^(1/(x-1)) $ mentre adesso vedo che e':
$lim_(x->1^-)2^(((1/(1-x))^(1/(x-1))) $ in questo caso considero il limite ad esponente $lim_(x->1^-)(1/(1-x))^(1/(x-1)) $ $=lim_(x->1^-)(1/(1-x))^(-1/(1-x)) $ poniamo per comodità $1/(1-x)=t $ e riscrivo in modo equivalente $lim_(t->+infty)t^(-t)$ $=lim_(t->+infty)(t^(-1))^(t) $ $=lim_(t->+infty)(1/t^t)=1/(+infty)=0$ , sostituendo si ha $2^0=1$ che e' il valore del limite originale.