Limite
Come si può far vedere che $lim_(x->infty)(log^x(x))/x=infty $
Senza ricorrere al teorema di Hopital ?
Senza ricorrere al teorema di Hopital ?
Risposte
Consideriamo la serie:
\[ \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{ n}{\ln^n n} \]
Questa converge per il criterio della radice. Infatti:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\sqrt[n] {\frac{ n}{\ln^n n} }} = 0 < 1 \]
Essendo convergente, deve essere necessariamente che:
\[ \lim_{ n \to + \infty} { \frac{n}{\ln^n n}} = 0 \]
D'altra parte:
\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{ \ln^n n}{n}} = \lim_{n \to + \infty} { \left ( \frac{n}{\ln^n n} \right)^{-1} = \left (\lim_{n \to + \infty} {\frac{ n}{\ln^n n}} \right )^{-1} }= 0^{-1} = \infty \]
\[ \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{ n}{\ln^n n} \]
Questa converge per il criterio della radice. Infatti:
\[ \lim_{n \to + \infty} {\sqrt[n] {\frac{ n}{\ln^n n} }} = 0 < 1 \]
Essendo convergente, deve essere necessariamente che:
\[ \lim_{ n \to + \infty} { \frac{n}{\ln^n n}} = 0 \]
D'altra parte:
\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{ \ln^n n}{n}} = \lim_{n \to + \infty} { \left ( \frac{n}{\ln^n n} \right)^{-1} = \left (\lim_{n \to + \infty} {\frac{ n}{\ln^n n}} \right )^{-1} }= 0^{-1} = \infty \]
Con qualche sostituzione abbastanza citofonata, direi... 
@Berationalgetreal, grazie per la risposta!
@gugo82 , se volessi usare solo i limiti quale sarebbe la sostituzione da effettuare, non riesco proprio, puoi darmi qualche indicazione, grazie!
@gugo82 , se volessi usare solo i limiti quale sarebbe la sostituzione da effettuare, non riesco proprio, puoi darmi qualche indicazione, grazie!
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