Limite

[fabiett1]

Come può il seguente limite essere corretto? In teoria non ci si trova davanti ad una forma indeterminata per come è stato svolto?

$lim_(x -> 0^+) x^x =$ $lim_(x -> 0^+) e^(x*logx) =$ $lim_(x -> 0^+) e^0=1$

Non si ha una forma 0* -infinito ad esponente? Se il log fosse limitato varrebbe per il teorema del confronto, ma purtroppo non è così :\
Potete darmi delle delucidazioni, perfavore?

[Magma1]

Ciao

$ lim_(x -> 0^+) x^x = e^( lim_(x -> 0^+)(x*logx)) = $

Quindi studio il limite dell'esponente:

$lim_(x -> 0^+)(x*logx)=$

Riscrivo la funzione in moda da ottenere una forma indeterminata del tipo divergente, ed essendo entrambe le funzioni derivabili e il limite del loro rapporto regolare per $x->0^+$, allora posso applicare De L'Hospital:

$lim_(x -> 0^+)logx/(1/x)=$De L'Hospital$=lim_(x -> 0^+)(1/x)/(-1/x^2)=lim_(x -> 0^+)-x=0$

Quindi

$ lim_(x -> 0^+) x^x = e^( lim_(x -> 0^+)(x*logx))=e^0=1$

Più rapidamente esiste il seguente limite notevole:

$lim_(x->0^+) x^b logx=0, AA b>0$