Limite

[eccelsius]

salve, ho bisogno di aiuto su questo limite
$\lim_{x \to \0} (1/(arctgx)^3-1/x^3)$
lavorando con i limiti notevoli mi risulta
$\lim_{x \to \0} (1/(x)^3-1/x^3)$
e già qui non so esattamente come muovermi ma non credo che possa dire che è 0
ho provato a fare il minimo comune multiplo così da rimandare tutto ad una forma 0/0 e ad usare de l'hopital che; se ho fatto bene i calcoli dovrebbe uscire:
$\lim_{x \to \0} ((3x^2-(3(arctgx)^2/(x^2+1)))/((3x^2)(arctgx)^2(x/(x^2+1)+arctgx)))$
qui non so più come operare. ho provato a rifare de l'hopital ma continua a diventare sempre più complicata sempre con la forma 0/0
grazie a chiunque risponderà

[bosmer-votailprof]

Puoi dire che è zero eccome!
Allora come hai scritto tu hai che $\frac{1}{\arctg^3 (x)}\approx \frac{1}{x^3}$ questo significa che $\frac{1}{\arctg^3 (x)}\approx \frac{1}{x^3}+ o(x^3)$ quindi hai che quel limite diventa per l'esattezza

$$
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^3}+ o(x^3)-\frac{1}{x^3} =\lim_{x\to 0} o(x^3)=0
$$

Fine della fiaba.

[anto_zoolander]

guarda che non fa zero..

[bosmer-votailprof]

Oddio, è vero scusa!!

Non è vero che $\frac{1}{\arctg^3 (x)}\approx \frac{1}{x^3}$ !! perché la funzione non è derivabile in zero! Sono stato un po' frettoloso.

Allora $\arctg^3(x)\approx x^3-x^5 $ quindi se sostituisci l'asintotico nel limite originale e fai il minimo comune multiplo ottieni
$$
\lim_{x\to 0}\frac{1-(1-x^2)}{x^3(1-x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x(1-x^2)}
$$

E tale limite non esiste, perché il limite destro è pari a più infinito mentre il limite sinistro è pari a meno infinito.