Limite
Ciao, sto svolgendo quest'esercizio che proprio non riesco a risolvere:
$ lim_(x -> +\infty) (x^2(3^x-3^(-x)))/(4^x+x^2) $
Avete almeno un consiglio da darmi? Grazie!
$ lim_(x -> +\infty) (x^2(3^x-3^(-x)))/(4^x+x^2) $
Avete almeno un consiglio da darmi? Grazie!
Risposte
il numeratore è asintotico a $x^2 3^x$ ed il denominatore è asintotico a $4^x$
Avevo pensato di fare come hai detto tu, quindi verrebbe:
$ lim_(x -> +\infty)x^2(3/4)^x $ , che si presenta nella forma $ [0\cdot \infty] $. Allora mi riconduco ad una forma in cui posso applicare il teorema di de L'Hopital, cioè:
$ lim_(x -> +\infty) (3/4)^x/(1/x^2) $ e, dopo aver derivato, diventa $ -1/2log(3/4) lim_(x -> +\infty) (3/4)^x/(1/x^3) $.
Notando che andando a derivare ancora non risolvo nulla, posso concludere che l'esponenziale è un infinitesimo "più forte" rispetto alla potenza e quindi il limite fa $ 0 $?
$ lim_(x -> +\infty)x^2(3/4)^x $ , che si presenta nella forma $ [0\cdot \infty] $. Allora mi riconduco ad una forma in cui posso applicare il teorema di de L'Hopital, cioè:
$ lim_(x -> +\infty) (3/4)^x/(1/x^2) $ e, dopo aver derivato, diventa $ -1/2log(3/4) lim_(x -> +\infty) (3/4)^x/(1/x^3) $.
Notando che andando a derivare ancora non risolvo nulla, posso concludere che l'esponenziale è un infinitesimo "più forte" rispetto alla potenza e quindi il limite fa $ 0 $?
certamente
$ lim_(x -> +infty) x^na^x=0 $ con $0
$ lim_(x -> +infty) x^na^x=0 $ con $0
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