Limite

[daenerys1]

Salve mi servirebbe un aiuto con questo limite:

Calcolare al variare di $ a in R_+$

$ lim_(x->(+∞)) x^a(arctan(sqrt(x^2+5x+1)) - arctan(x)) $

Io ho provato usando De L'Hopital , dopo essermi riportata il limite alla forma 0/0 ma ho avuto un pò di confusione

[francicko]

Prova a postare il procedimento in cui hai usato hopital, per $a=2$, il limite credo sia finito, oltre hopital si puo usare una proprieta' dell'arcotangente.

[daenerys1]

Allora, io mi sono riscritta il limite così:

$ lim_(x->+∞) (arctan(sqrt(x^2+5x+1)) -arctan(x))/(1/x)^a $

da cui, siccome la a è positiva ottengo la forma 0/0 e quindi è una forma indeterminata e posso applicare De L'Hopital ottenendo:

$ lim_(x->+∞) ( (1/(2+x^2+5x))* (1/(2*sqrt(x^2+5x+1)))*(2x+5) - (1/(1+x^2))) / (-a*(x)^(-a-1)) $

da qui poi?

[daenerys1]

Non ho capito comunque il fatto che mi hai detto di a=2

[francicko]

Usando gli asintotici si ha: $2+x^2+5x ~x^2$, $2sqrt(x^2+5x+1)~2xsqrt (1+5/x+1/x^2)~2x (1+5/(2x))$, ed
$2x+5~2x $, sostituendo e considerando il caso $a=2$, si ha:
$(x^3)((2x)/((-2x^2)(2x)(1+5/(2x)))-1/(-2x^2))$

[francicko]

Usando gli asintotici si ha: $2+x^2+5x ~x^2$, $2sqrt(x^2+5x+1)~2xsqrt (1+5/x+1/x^2)~2x (1+5/(2x))$, ed
$2x+5~2x $, sostituendo e considerando il caso $a=2$, si ha:
$lim_(x->infty)(x^3)((2x)/((-2x^2)(2x)(1+5/(2x)))-1/(-2x^2))$ $=lim_(x->infty)(-x+x+5/2)=5/2$

[daenerys1]

Ah ecco, il fatto che ad Analisi 1 non ha fatto tale argomento (viene fatta alle 2) quindi come posso svolgere un analisi del limite nei vari casi di a..?