Limite

[francicko]

Come si può risolvere questo limite $lim_(x->infty)(logx)^(1/x) $ senza ricorrere all'uso di Hopital?

[vict85]

Sono un po' fuori allenamento con queste cose. Ma forse è possibile fare un confronto con \(\displaystyle e^{\frac{1}{x}} \) e \(\displaystyle x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\log x}{x}} \).

[quantunquemente]

si potrebbe scrivere l'argomento come $e^(1/xln(lnx))$ e osservare che
$0leq ln(lnx)/xleqlnx/x$
e a questo punto chiamiamo i carabinieri

[francicko]

Grazie per le risposte, mi avete convinto!

[francicko]

Ripensandoci però mi sembra che non è una forma indeterminata $infty^0$, quindi il risultato è banalmente $1$, o mi sbaglio?

[@melia]

Sbagli. Ad esempio $lim_(x->+oo) x^(1/lnx)$ è un $oo^0$ ma il risultato del limite non è 1.

[francicko]

x@melia.
Hai ragione!! $infty^0$ e' una forma indeterminata, questo tipo si risolvono mettendoli nella forma $e^((g(x)xxlog(f(x))$, e svolgendo il limite della funzione ad esponente, nel caso che tu hai riportato , diventa $lim e^((logx)xx(1/logx))=e^1=e$, cosi dovrebbe andar bene.

[@melia]

[francicko]

da qualche esempio mi sono reso conto che $0^(infty) $ non e una forma indeterminata e da sempre $0$ come risultato, come lo si può stabilire rigorosamente che effettivamente non è una forma indeterminata?

[@melia]

$0^(oo)$ è indeterminata.
Non lo sono

$0^(+oo) = 0*0*0...=0$
e
$(0^+)^(-oo) = 1/((0^+)^(+oo))=1/(0^+)= +oo$