Limite
salve, avrei bisogno di una mano con la risoluzione di questo limite:
$lim_(x->infty) (x^(log(x))/(log(x))^x) $
attendo qualche consiglio
$lim_(x->infty) (x^(log(x))/(log(x))^x) $
attendo qualche consiglio
Risposte
Prova così:
$x^{\ln(x)}/(\ln(x))^x=e^{(\ln(x))^2}/e^{x\ln(x)}=e^{x\ln(x)(\ln(x)/x-1)}$
Passando al limite che succede?
$\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln(x)/x=0$ dunque $\lim_{x \rightarrow +\infty} x\ln(x)(\ln(x)/x-1)=-\infty$
$x^{\ln(x)}/(\ln(x))^x=e^{(\ln(x))^2}/e^{x\ln(x)}=e^{x\ln(x)(\ln(x)/x-1)}$
Passando al limite che succede?
$\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln(x)/x=0$ dunque $\lim_{x \rightarrow +\infty} x\ln(x)(\ln(x)/x-1)=-\infty$
Ciao.
Forse ho trovato una scappatoia... provando a calcolare il limite del logaritmo di quella funzione, si avrebbe:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=lim_{xto+oo} [log(x^(logx))-log((logx)^x)]=lim_{xto+oo} [logx*logx-xlog(logx)]$
cioè:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=lim_{xto+oo} [log^2x-xlog(logx)]=lim_{xto+oo} x[(log^2x)/x-log(logx)]$
Siccome vale $lim_{xto+oo} (log^2x)/x=0$ (facendo qualche conto si verifica ciò), allora si ottiene, alla, fine che:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=-oo Rightarrow lim_{xto+oo} (x^(log(x))/(log(x))^x)=0$
Probabilmente c'è una strada migliore della mia; comunque spero di non aver sbagliato i conti.
Saluti.
Forse ho trovato una scappatoia... provando a calcolare il limite del logaritmo di quella funzione, si avrebbe:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=lim_{xto+oo} [log(x^(logx))-log((logx)^x)]=lim_{xto+oo} [logx*logx-xlog(logx)]$
cioè:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=lim_{xto+oo} [log^2x-xlog(logx)]=lim_{xto+oo} x[(log^2x)/x-log(logx)]$
Siccome vale $lim_{xto+oo} (log^2x)/x=0$ (facendo qualche conto si verifica ciò), allora si ottiene, alla, fine che:
$lim_{xto+oo} log[(x^(log(x))/(log(x))^x)]=-oo Rightarrow lim_{xto+oo} (x^(log(x))/(log(x))^x)=0$
Probabilmente c'è una strada migliore della mia; comunque spero di non aver sbagliato i conti.
Saluti.
grazie ad entrambi per le risposte 
credo che il procedimento postato da alessandro, seppur più elaborato sia giusto in quanto il risultato finale è proprio $-infty$
credo che il procedimento postato da alessandro, seppur più elaborato sia giusto in quanto il risultato finale è proprio $-infty$
...ma a me il limite risulterebbe nullo.
Forse ho sbagliato qualcosa?
Saluti.
Forse ho sbagliato qualcosa?
Saluti.
ciao steve
via help dal titolo per favore
la prossima volta mostra il tuo tentativo di soluzione prima di chiedere la risoluzione dell'esercizio
via help dal titolo per favore
la prossima volta mostra il tuo tentativo di soluzione prima di chiedere la risoluzione dell'esercizio
Scusate, ma se si ragiona semplicemente con gli ordini di infinito, a me il risultato appare immediato infatti scrivendo il limite sotto la forma $lim_(x->infty)$ $ (e^(logx×logx))/(e^(x×logx)) $
a questo punto sapendo che $x $ e' un infinito di ordine superiore rispetto ad $logx $, cioe tende ad infinito più velocemente, idem sara' per $x×logx $, rispetto ad $logx×logx $,
pertanto anche $e^(x×logx) $ tenderà ad infinito più velocemente di $ e^(logx×logx) $, quindi il valore del limite e' senz'altro $0$, vi sembra corretto il mio ragionamento?
a questo punto sapendo che $x $ e' un infinito di ordine superiore rispetto ad $logx $, cioe tende ad infinito più velocemente, idem sara' per $x×logx $, rispetto ad $logx×logx $,
pertanto anche $e^(x×logx) $ tenderà ad infinito più velocemente di $ e^(logx×logx) $, quindi il valore del limite e' senz'altro $0$, vi sembra corretto il mio ragionamento?
"alessandro8":
...ma a me il limite risulterebbe nullo.
Forse ho sbagliato qualcosa?
Scusami volevo dire che il risultato è $0$ quindi va bene
Meno male.
Saluti.
Saluti.
Scusate se Insisto, ma Il ragionamento che ho postato sopra vi
sembra corretto?
sembra corretto?
@ Francicko
Si, un po troppo qualitativo, ma corretto.
Si, un po troppo qualitativo, ma corretto.
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