Limite
salve ragazzi,
sto provando a svolgere un limite che è un esercizio di un esame passato, ma non riesco proprio a capire come fare.
$ lim_(x -> 0) (1/(3x-1)+(sinx/x))/(2^x - 2^-x) $
mi potreste dare un consiglio ?
grazie
sto provando a svolgere un limite che è un esercizio di un esame passato, ma non riesco proprio a capire come fare.
$ lim_(x -> 0) (1/(3x-1)+(sinx/x))/(2^x - 2^-x) $
mi potreste dare un consiglio ?
grazie
Risposte
$lim (1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x)))=$ $lim (-3)/(2^x (1-4^(-x))/x)= (-3)/log4$
Ho usato i due noti limiti notevoli $lim_(x->0)sinx/x=1$, ed
$lim_(x->0)(1-a^(-x))/(-x)=loga $.
Ho usato i due noti limiti notevoli $lim_(x->0)sinx/x=1$, ed
$lim_(x->0)(1-a^(-x))/(-x)=loga $.
ciao grazie per l'aiuto.
forse faccio una domanda banale,
ma non riesco proprio a capire come fai ad arrivare da: $ lim (1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x)))= $
a: $ lim (-3)/(2^x (1-4^(-x))/x)=$
o meglio non capisco come da $(1/(3x-1)+1)$
lo trasformi in $-3$ e la $x$ va al denominatore di $1-4^-x$
sto girando su internet per trovare qualche regola che mi spieghi come fare ma non trovo niente
grazie mille
forse faccio una domanda banale,
ma non riesco proprio a capire come fai ad arrivare da: $ lim (1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x)))= $
a: $ lim (-3)/(2^x (1-4^(-x))/x)=$
o meglio non capisco come da $(1/(3x-1)+1)$
lo trasformi in $-3$ e la $x$ va al denominatore di $1-4^-x$
sto girando su internet per trovare qualche regola che mi spieghi come fare ma non trovo niente
grazie mille
Premetto che non c'è nulla da cercare su internet.
Sono semplici calcoli che erano già visibili dalla risposta che ti è stata data.
$ lim_(x -> 0) (1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x)))= $ = $ lim_(x -> 0) ( 1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x))*x/x )= $ $ lim_(x -> 0) (( 1/(3x-1)+1)/(x))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $
Ora svolgo i calcoli al numeratore
\(\displaystyle 1/(3x-1) + 1 = 3x/(3x-1) \)
Quindi
$ lim_(x -> 0) (( (3x)/(3x-1))/(x))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $ $ lim_(x -> 0) (( 3/(3x-1)))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $ ed ora puoi riprendere il post di francicko
Sono semplici calcoli che erano già visibili dalla risposta che ti è stata data.
$ lim_(x -> 0) (1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x)))= $ = $ lim_(x -> 0) ( 1/(3x-1)+1)/(2^x (1-4^(-x))*x/x )= $ $ lim_(x -> 0) (( 1/(3x-1)+1)/(x))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $
Ora svolgo i calcoli al numeratore
\(\displaystyle 1/(3x-1) + 1 = 3x/(3x-1) \)
Quindi
$ lim_(x -> 0) (( (3x)/(3x-1))/(x))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $ $ lim_(x -> 0) (( 3/(3x-1)))/(2^x (1-4^(-x))/x )= $ ed ora puoi riprendere il post di francicko
la soluzione proposta si basa su un passaggio non lecito :
in generale,non è affatto vero che $ lim_(x -> c) (f(x)+g(x))/(h(x))=lim_(x -> c) (f(x)+l)/(h(x)) $ con $l=lim_(x -> c)g(x)$
ad esempio,non è affatto vero che $ lim_(x -> 0) (x-senx)/x=lim_(x -> 0) x/x=1 $
se il risultato è giusto,si tratta di una fortunata coincidenza
in generale,non è affatto vero che $ lim_(x -> c) (f(x)+g(x))/(h(x))=lim_(x -> c) (f(x)+l)/(h(x)) $ con $l=lim_(x -> c)g(x)$
ad esempio,non è affatto vero che $ lim_(x -> 0) (x-senx)/x=lim_(x -> 0) x/x=1 $
se il risultato è giusto,si tratta di una fortunata coincidenza
"quantunquemente":
la soluzione proposta si basa su un passaggio non lecito :
in generale,non è affatto vero che $ lim_(x -> c) (f(x)+g(x))/(h(x))=lim_(x -> c) (f(x)+l)/(h(x)) $ con $ l=lim_(x -> c)g(x) $
ad esempio,non è affatto vero che $ lim_(x -> 0) (x-senx)/x=lim_(x -> 0) x/x=1 $
se il risultato è giusto,si tratta di una fortunata coincidenza
Sì hai ragione, ho eseguito un passaggio non lecito, come giustamente hai fatto notare.
In effetti il risultato e' corretto, ho controllato con wolfram, ma si tratta di una fortunata coincidenza.
Svolgendo a numeratore si ha:
$lim_(x->0)(x-sinx+3xsinx)/(x×(3x-1)×2^x×(1-4^(-x))) $, essendo che a numeratore abbiamo il termine $x-sinx$, vengono coinvolti termini successivi, per cui bisogna ricorrere allo sviluppo in serie, avendosi $sinx=x-x^3/(3!)+o (x^3)$, ed essendo $3xsinx~3x^2$, sostituendo avremo $lim_(x->0)(x-x+x^3/6+o (x^3)+3x^2)/(x×(3x-1)×2^x×(1-4^(-x))) $, potendo a numeratore
trascurare gli infinitesimi di grado superiore a due, riscrivendo si ha:$lim_(x->0)(3x^2)/(x×(3x-1)×2^x(1-4^(-x)))$ $=lim_(x->0)(3x)/(x×(3x-1)×2^x×(1-4^(-x))/x) $ $=3/((-1)×1×log4)=-3/log4$.
scusatemi . 
ma sono piu confuso di prima, quindi il limite va risolto con taylor non con i limiti notevoli ?
nel testo c'è scritto. si ricordi che $2^x = e^(xlog2)$
ma sono piu confuso di prima, quindi il limite va risolto con taylor non con i limiti notevoli ?
nel testo c'è scritto. si ricordi che $2^x = e^(xlog2)$
Credo, a mio modesto parere, che in questo caso l'uso dello sviluppo in serie di taylor sia indispensabile ai fini del calcolo del limite, nell'ultimo svolgimento , spero corretto, che ti ho postato, ho fatto ricorso sia a taylor che al limite notevole $lim_(x->0)(4^(-x)-1)/(-x)=lim_(x->0)(1-4^(-x))/x=log4$, e penso che questa sia la strada più breve per arrivare alla soluzione, a meno che non si vuole procedere con Hopital, che pero' comporta delle lungaggini di calcolo.
Aspettiamo il parere di persone piu' esperte di me, che magari possano smentirmi e fornire una soluzione più immediata con il solo uso di limiti notevoli.
Aspettiamo il parere di persone piu' esperte di me, che magari possano smentirmi e fornire una soluzione più immediata con il solo uso di limiti notevoli.
Ciao grazie per il tuo aiuto.
Scusa se ti chiedo sta cosa ma mi sono perso
.
Potresti scrivermi tutti passaggi
Perche tra le due versioni degli esercizi mi son perso .
Grazie mille
Scusa se ti chiedo sta cosa ma mi sono perso
.Potresti scrivermi tutti passaggi
Perche tra le due versioni degli esercizi mi son perso .
Grazie mille
Partiamo dall'inizio; il limite era $lim_(x->0)(1/(3x-1)+sinx/x)/(2^x-2^(-x))$, chiaramente siamo di fronte ad una forma indeterminata $0/0$, in quanto sostituendo $0$ ad $x$, sia il numeratoere che il denominatore si annullano, pertanto per arrivare al corretto calcolo del limite dobbiamo eliminare tale forma, il primo procedimento che avevo postato era sbagliato perchè eseguivo il calcolo del limite a pezzi, cosa in questo caso non lecita e sbagliata , come giustamente ha fatto notare @quantunquemente.
Nella seconda versione, spero corretta, sviluppo i calcoli a numeratore, per cui ho: $1/(3x-1)+sinx/x=(x+(3x-1)sinx)/((x)xx(3x-1))=(x+3xsinx-sinx)/((x)xx(3x-1))$, sostituendo
il nostro limite quindi diventa, $lim_(x->0)((x-sinx)+3xsinx)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x))$, ho messo in evidenza tra parentesi il termine $x-sinx$, proprio perchè qui vengono coinvolti termini successivi al termine di $1°$, in quanto lo sviluppo in serie di $sinx$ è $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)-........$, quindi avremo $(x-(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-.........))=(-x^3/(3!)+x^5/(5!)-......)$, i termini $-x^3/(3!)$, $x^5/(5!)$, $....$ ecc., sono termini(infinitesimi) di grado superiore al $2°$,trascurabili rispetto ad $3xsinx$ che é asintotico ad $3x^2$, cioè tendono a zero più velocemente, potendo ometterli il nostro limite diventa $lim_(x->0)(3x^2)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, semplificando avremo ancora $lim_(x->0)(3x)/((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, che possiamo scrivere nella forma $lim_(x->0)3/(((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx((2^x-2^(-x))/x))=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-(2^(-x)/(2^x)))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-2^(-2x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(1-(2^2)^(-x))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-4^(-x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((4^(-x)-1)/(-x))$, a questo punto notiamo il limite notevole $lim_(x->0)(4^(-x)-1)/(-x)=log4$, e avendo a denominatore solo dei prodotti possiamo sostituire il suo valore ed avremo ancora $lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(log4)$, calcolando si ha : $lim_(x->0)3/(((3xx0)-1)xx(2^0)xx(log4))$ $=lim_(x->0)3/((-1)xx(1)xx(log4))=-3/(log4)$.
Spero di essermi spiegato chiaramente
saluti!
Nella seconda versione, spero corretta, sviluppo i calcoli a numeratore, per cui ho: $1/(3x-1)+sinx/x=(x+(3x-1)sinx)/((x)xx(3x-1))=(x+3xsinx-sinx)/((x)xx(3x-1))$, sostituendo
il nostro limite quindi diventa, $lim_(x->0)((x-sinx)+3xsinx)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x))$, ho messo in evidenza tra parentesi il termine $x-sinx$, proprio perchè qui vengono coinvolti termini successivi al termine di $1°$, in quanto lo sviluppo in serie di $sinx$ è $sinx=x-x^3/6+x^5/(5!)-........$, quindi avremo $(x-(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-.........))=(-x^3/(3!)+x^5/(5!)-......)$, i termini $-x^3/(3!)$, $x^5/(5!)$, $....$ ecc., sono termini(infinitesimi) di grado superiore al $2°$,trascurabili rispetto ad $3xsinx$ che é asintotico ad $3x^2$, cioè tendono a zero più velocemente, potendo ometterli il nostro limite diventa $lim_(x->0)(3x^2)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, semplificando avremo ancora $lim_(x->0)(3x)/((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))$, che possiamo scrivere nella forma $lim_(x->0)3/(((3x-1)xx(2^x-2^(-x)))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx((2^x-2^(-x))/x))=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-(2^(-x)/(2^x)))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-2^(-2x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(1-(2^2)^(-x))/x)=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((1-4^(-x))/x)$ $=lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx((4^(-x)-1)/(-x))$, a questo punto notiamo il limite notevole $lim_(x->0)(4^(-x)-1)/(-x)=log4$, e avendo a denominatore solo dei prodotti possiamo sostituire il suo valore ed avremo ancora $lim_(x->0)3/((3x-1)xx(2^x)xx(log4)$, calcolando si ha : $lim_(x->0)3/(((3xx0)-1)xx(2^0)xx(log4))$ $=lim_(x->0)3/((-1)xx(1)xx(log4))=-3/(log4)$.
Spero di essermi spiegato chiaramente
saluti!
@francicko: Il risultato è giusto ma il procedimento non mi piace molto.
Questo commento è diseducativo. Non si "sostituisce" niente. Si sta facendo tendere $x$ a $0$.
Un po' difficile seguirti qui. Molto più sistematico procedere con gli sviluppi di Taylor usando delle buone formulazioni per l'errore: O grande, o piccolo. Per esempio, il numeratore si sviluppa così:
\[
-(1-3x)^{-1}+\frac{\sin x}{x}=-1-3x+o(x) +1 +o(x)=-3x+o(x).
\]
Il denominatore si sviluppa così:
\[
2^x-2^{-x}=1+x\log 2 +o(x)-1+x\log2+o(x)=2x\log 2+o(x).\]
Quindi la nostra frazione ha lo sviluppo asintotico
\[
\frac{-3x +o(x)}{2x\log 2+o(x)}.\]
Basta ora raccogliere la $x$ a numeratore e denominatore e concludere.
"francicko":
siamo di fronte ad una forma indeterminata $0/0$, in quanto sostituendo $0$ ad $x$, sia il numeratoere che il denominatore si annullano,
Questo commento è diseducativo. Non si "sostituisce" niente. Si sta facendo tendere $x$ a $0$.
Nella seconda versione, spero corretta, sviluppo i calcoli a numeratore, per cui ho: $1/(3x-1)+sinx/x=(x+(3x-1)sinx)/((x)xxsinx)=(x+3xsinx-sinx)/((x)xx(3x-1))= ((x-sinx)+3xsinx)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x))$, il nostro limite quindi diventa, $lim_(x->0)((x-sinx)+3xsinx)/((x)xx(3x-1)xx(2^x-2^(-x))$, [...]
Un po' difficile seguirti qui. Molto più sistematico procedere con gli sviluppi di Taylor usando delle buone formulazioni per l'errore: O grande, o piccolo. Per esempio, il numeratore si sviluppa così:
\[
-(1-3x)^{-1}+\frac{\sin x}{x}=-1-3x+o(x) +1 +o(x)=-3x+o(x).
\]
Il denominatore si sviluppa così:
\[
2^x-2^{-x}=1+x\log 2 +o(x)-1+x\log2+o(x)=2x\log 2+o(x).\]
Quindi la nostra frazione ha lo sviluppo asintotico
\[
\frac{-3x +o(x)}{2x\log 2+o(x)}.\]
Basta ora raccogliere la $x$ a numeratore e denominatore e concludere.
x dissonance.
Per il primo punto hai perfettamente ragione il termine sostituisco e' del tutto inappropriato, in quanto per quanto piccolo, ci poniamo sempre in un intorno.
Per quanto riguarda il resto a parte un errore di trascrizione che ho modificato, a mio parere lo svolgimento e' corretto, ed utilizza solo lo sviluppo di taylor per la funzione $sinx $ ed un limite notevole.
Certamente se si utilizzano interamente gli sviluppi di taylor il risultato e' immediato, In quanto a numeratore abbiamo $-3x+o (x) $, a denominatore abbiamo $2xlog2+o (x) $, e potendo trascurare gli $o (x) $, e semplificando, si ottiene $-3/(2log2)=-3/(log4) $.
L'uso dello sviluppo in serie di taylor e' il più sicuro ed immediato in quanto se c'e' un coinvolgimento di termini successivi al termine in $x $, i limiti notevoli sono insufficienti, inoltre a rispetto ad Hopital, non comporta lungaggini nei calcoli.
Se per esempio ho il limite per $x->0$, $lim (x+sinx)/x $ in questo caso posso tranquillamente sostituire $x $a $sinx $, essendo $x~sinx $, in quanto non c'e' coinvolgimento di termini successivi ad $x $, ottenendo così $lim2x/x=2$, diverso e' il caso ad esempio, sempre per $x->0$, di $lim (x-sinx+x^3)/(x^3) $, qui c'e' il coinvolgimento di termini successivi ad $x $, quindi devo usare taylor , ed ottengo $lim (x-(x-x^3/6+o (x^3))+x^3)/(x^3)=7/6$, se avessi sostituito $x $ a $sinx $ avrei ottenuto $lim (x+x^3-x)/(x^3)=1$, che e' un risultato diverso e sbagliato.
Correggimi pure se non sei d'accordo.
Saluti!
Per il primo punto hai perfettamente ragione il termine sostituisco e' del tutto inappropriato, in quanto per quanto piccolo, ci poniamo sempre in un intorno.
Per quanto riguarda il resto a parte un errore di trascrizione che ho modificato, a mio parere lo svolgimento e' corretto, ed utilizza solo lo sviluppo di taylor per la funzione $sinx $ ed un limite notevole.
Certamente se si utilizzano interamente gli sviluppi di taylor il risultato e' immediato, In quanto a numeratore abbiamo $-3x+o (x) $, a denominatore abbiamo $2xlog2+o (x) $, e potendo trascurare gli $o (x) $, e semplificando, si ottiene $-3/(2log2)=-3/(log4) $.
L'uso dello sviluppo in serie di taylor e' il più sicuro ed immediato in quanto se c'e' un coinvolgimento di termini successivi al termine in $x $, i limiti notevoli sono insufficienti, inoltre a rispetto ad Hopital, non comporta lungaggini nei calcoli.
Se per esempio ho il limite per $x->0$, $lim (x+sinx)/x $ in questo caso posso tranquillamente sostituire $x $a $sinx $, essendo $x~sinx $, in quanto non c'e' coinvolgimento di termini successivi ad $x $, ottenendo così $lim2x/x=2$, diverso e' il caso ad esempio, sempre per $x->0$, di $lim (x-sinx+x^3)/(x^3) $, qui c'e' il coinvolgimento di termini successivi ad $x $, quindi devo usare taylor , ed ottengo $lim (x-(x-x^3/6+o (x^3))+x^3)/(x^3)=7/6$, se avessi sostituito $x $ a $sinx $ avrei ottenuto $lim (x+x^3-x)/(x^3)=1$, che e' un risultato diverso e sbagliato.
Correggimi pure se non sei d'accordo.
Saluti!
wow non so come ringraziarti
grazie mille
grazie mille
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