Limite

[piergiorgiof1]

Ciao a tutti, ho avuto qualche problema a risolvere questo limite che apparentemente mi sembrava banale. Spero che qualcuno possa aiutarmi.

$lim_(x->0)(cosx)^(1/(x^2))$

Ho provato tutto quello che ho imparato finora riguardo i limiti notevoli ma niente.

[Gi81]

Premetto un risultato: $lim_{x->0} (ln(cosx))/(x^2) = -1/2$

E' una forma indeterminata del tipo $0/0$. Applico De L'Hopital:
$lim_{x->0} (ln(cosx))/(x^2) = lim_{x->0} ( (-sinx)/(cosx) )/(2x) = -1/2 lim_{x->0} (tan(x) )/(x) = -1/2 *1= -1/2$

A questo punto abbiamo:
$lim_{x->0} cos(x)^(1/(x^2)) = lim_{x->0} e^((ln(cosx))/(x^2)) = e^{lim_{x->0} (ln(cosx))/(x^2)}= e^(-1/2)= 1/sqrte$

[piergiorgiof1]

Purtroppo, in questo tipo di esercizi che prevedono di risolvere esclusivamente un limite ,la professoressa non ci permette di utilizzare De L'Hopital ma solo di ricondurci ai limiti notevoli.
Quello che hai scritto rientra tra i limiti notevoli anche se ottenuto tramite de l'hopital?

[Gi81]

"piergiorgiof":Quello che hai scritto rientra tra i limiti notevoli anche se ottenuto tramite de l'hopital?

Non saprei, mi spiace

[quantunquemente]

da un noto limite notevole si ha che, per $x rarr 0$, $x^2 ~ 2(1-cosx)$
quindi il limite si può scrivere $ lim_(x -> 0) ln(cosx)/(2(1-cosx)) $
col cambio di variabile $z=1-cosx$ arrivi a calcolare $ lim_(z -> 0)-1/2ln(1-z)/(-z)$

[piergiorgiof1]

Grazie mille, mi hai salvato stavo uscendo pazzo.

[francicko]

Usare gli asintotici,equivalente ai limiti notevoli, in questo caso, e' l'unico modo che ci permette di risolvere il limite senza l' uso di hopital
$cosx=sqrt (1-sin^2 (x)) $ sapendo che per $x->0$, $sin^2 (x)~x^2$ possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0)(sqrt (1-x^2))^(1/(x^2)) $ ora $sqrt (1-x^2)~(1-x^2/2 )$, pertanto possiamo scrivere $lim_(x->0)(1-x^2/2)^(1/(x^2))=lim_(x->0)((1-x^2/2)^(-2/(x^2)))^(-1/2) =e^(-1/2)=1/(sqrt(e))$
che e' il risultato esatto del limite.

[piergiorgiof1]

"francicko":ora $sqrt (1-x^2)~(1-x^2/2 )$, pertanto possiamo scrivere

Potresti spiegarmi da dove deriva questa considerazione? Sono infinitesimi equivalenti?

[francicko]

Sì, sono asintotici in $0$, piu' in generale si ha $(1+x)^(alpha)~(1+alphax) $ con $x$ $in$ $R $;
La semplice giustificazione e data dal fatto che se sviluppi il quadrato $(1-x^2/2)^2$ ottieni $1-2 (x^2/2)+(x^2/2)^2=1-x^2+x^4/4$, man mano che sostituìamo ad $x $ valori sempre più vicini allo $0$ il termine infinitesimo di ordine superiore $x^4/4$ diventa come valore trascurabile, cioe tende a $0$ piu velocemente,da qui l'asintoticita' $(1-x^2/2)~sqrt (1-x^2)$ Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso le idee.

[Studente Anonimo]

"piergiorgiof":Ciao a tutti, ho avuto qualche problema a risolvere questo limite che apparentemente mi sembrava banale. Spero che qualcuno possa aiutarmi.

$lim_(x->0)(cosx)^(1/(x^2))$

Ho provato tutto quello che ho imparato finora riguardo i limiti notevoli ma niente.

Utilizzando i limiti notevoli propongo la mia risoluzione:
$lim_(x->0)(cosx)^(1/(x^2))$
$lim_(x->0)e^(ln(cosx)/x^2)$
$lim_(x->0)e^(ln(1+cosx-1)/x^2)$
$lim_(x->0)e^(ln(1+cosx-1)/(cosx-1)(cosx-1)/x^2)$
$lim_(x->0)e^-(ln(1+cosx-1)/(cosx-1)(1-cosx)/x^2)$
Penso tu conosca i due limiti notevoli che ho scritto:
$lim_(x->0)e^-(ln(1+cosx-1)/(cosx-1)(1-cosx)/x^2)$
$e^(lim_(x->0)-(ln(1+cosx-1)/(cosx-1)(1-cosx)/x^2))=e^(-1*1/2)=e^(-1/2)=1/sqrt(e)$

[piergiorgiof1]

"francicko":Sì, sono asintotici in $0$, piu' in generale si ha $(1+x)^(alpha)~(1+alphax) $ con $x$ $in$ $R $;
La semplice giustificazione e data dal fatto che se sviluppi il quadrato $(1-x^2/2)^2$ ottieni $1-2 (x^2/2)+(x^2/2)^2=1-x^2+x^4/4$, man mano che sostituìamo ad $x $ valori sempre più vicini allo $0$ il termine infinitesimo di ordine superiore $x^4/4$ diventa come valore trascurabile, cioe tende a $0$ piu velocemente,da qui l'asintoticita' $(1-x^2/2)~sqrt (1-x^2)$ Spero di essere stato chiaro e di non averti confuso le idee.

Sei stato chiarissimo, grazie!