Limite

[Emar1]

Durante un esercizio sulle distribuzioni mi trovo di fronte a questo limite:
\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \log{|\varepsilon|}\left(\varphi(\varepsilon) - \varphi(-\varepsilon) \right)\]
dove \(\varphi \in C^\infty_c\). Non riesco a convircermi che questo limite è uguale a zero.

Il logaritmo tende a \(-\infty\) e quella differenza tende a $0$. Per evidenziare la cosa possiamo porre \(f(x) = \varphi(x) - \varphi(-x)\). Abbiamo che \(f \in C^\infty_c\) e che \(f(0) = 0\). Ma questo non aiuta ad aggirare la forma $0 \cdot \infty$

Ho provato con de l'Hôpital ma non ne esco, non so se è l'ora tarda ma mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...

[ciampax]

Abbiamo (uso $t=\epsilon$ che mi rompo...)
$$\log|t|(\varphi(t)-\varphi(-t))=\log|t|\cdot[\varphi(t)-\varphi(0)+\varphi(0)-\varphi(-t)]=\\ t\log|t|\cdot\left[\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}+\frac{\varphi(0)-\varphi(-t)}{t}\right]$$
da cui...

(ma forse sto dicendo un mucchio di cavolate)

[Ernesto011]

Avevo pensato anche io alla stessa cosa, e poi dalla quadra dovrebbe venire fuori $ 2\varphi'(0) $ , ma in questo modo concluderei che il limite è infinito

[ciampax]

Infinito? La funzione $\varphi$è $C^\infty$ per cui la derivata in zero è un numero, e c'è il limite notevole $\lim_{t\to 0} t\log|t|=0$....

[Ernesto011]

Si il resto mi torna, ma quel limite di xlogx fa davvero 0? Con de l'hopital mi viene $-oo$
Anzi ora mi torna, avevo sbagliato una cavolata

[Emar1]

Grazie Ciampax per l'hint, torna tutto