Limite

[FraShit]

Salve,qualcuno può aiutarmi con questo limite?
Calcolare al variare di a e b appartenenti a R il limite per x-->0 di $(acosx-be^x+senx)/(x^2)$
Ho pensato di procedere con gli sviluppi di Taylor cioè
$limx->0 [ a(1-x^2/2)-b(1+x)+x-x^3/6]/x^2$
E poi come procedo?

[francicko]

E' giusto come hai fatto, procedere con gli sviluppi di taylor, solo che per quanto riguarda $e^x$, devi tenere conto anche del termine successivo di $2^°$, pertanto diventa:
$lim_(x->0)(a(1-x^2/2)-b(1+x+x^2/2)+(x-x^3/6))/x^2$, sviluppando e raccogliendo i termini di grado comune avrai, se non sbaglio:
$((a-b)-(a-b)x^2/2+x(1-b)-x^3/6)/x^2$, adesso prova a discenere i vari casi facendo facendo assumere ai parametri
$a$ e $b$, dei valori, ad esempio:
se $a=b=1$ resterebbe a numeratore il termine $(-x^3/6)$ e quindi $lim_(x->0)(-x^3/6)/x^2=0$, prova a vedere se ho fatto bene i calcoli;
Se $b=0$ ed $a=0$ a numeratore resta il termine $x-x^3/6$ ed trascurando l'infinitesimo di ordine superiore $-x^3/6$, il limite diventa $lim_(x->0)x/x^2$ $=infty$.
Saluti!

[FraShit]

Grazie ora controllo tutti i calcoli,ma perchè per $e^x$ devo tener conto anche del termine successivo?sai dirmi se c'è una regola generale per capire fino a che ordine devo arrivare?

[francicko]

Il confronto alla fine avviene con il denominatore che è appunto $x^2$, cioè un infinitesimo di $2°$;
Quindi a numeratore lo sviluppo in serie dei singoli termini deve coinvolgere almeno i termini di $2°$.
Spero di non sbagliarmi e di esserti stato di aiuto.
Saluti!