Limite
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio, però mi sono bloccata ... qualcuno può aiutarmi? Grazie 
Calcolare, giustificando il procedimento seguito, il seguente limite:
$lim_(n->infty) int_{3}^{pi} (x^3-n)/(x^2+n) dx$
________
Per risolverlo devo capire se posso fare la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale e per usarla la successione di funzioni deve convergere uniformemente su $[3,pi]$. Giusto?
Allora, poniamo $f_n (x) = (x^3-n)/(n+x^2)$
La successione di funzioni ${f_n}$ converge puntualmente su $E=RR$ alla funzione $f(x)=-1$.
Per capire se converge uniformemente devo vedere se è nullo il:
$lim_(n->infty) text{sup}_(x in RR) |(x^3+x^2)/(x^2+n)|$
qui mi sono bloccata ... secondo me non converge uniformemente perché il limite non va a zero ma all'infinito. Però non ne sono sicura ...
Calcolare, giustificando il procedimento seguito, il seguente limite:
$lim_(n->infty) int_{3}^{pi} (x^3-n)/(x^2+n) dx$
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Per risolverlo devo capire se posso fare la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale e per usarla la successione di funzioni deve convergere uniformemente su $[3,pi]$. Giusto?
Allora, poniamo $f_n (x) = (x^3-n)/(n+x^2)$
La successione di funzioni ${f_n}$ converge puntualmente su $E=RR$ alla funzione $f(x)=-1$.
Per capire se converge uniformemente devo vedere se è nullo il:
$lim_(n->infty) text{sup}_(x in RR) |(x^3+x^2)/(x^2+n)|$
qui mi sono bloccata ... secondo me non converge uniformemente perché il limite non va a zero ma all'infinito. Però non ne sono sicura ...
Risposte
$|(x^3-n)/(x^2+n)+1|=|(x^3+x^2)/(x^2+n)|<(4^3+4^2)/n$ in $[3,pi]$
@stormy: la best constant sarebbe ${\pi^3+\pi^2}/{n}$
visto che non si paga niente,ho abbondato 
quindi converge uniformemente?
E mi pare di si, visto che quel sup va a zero.
Ok, grazie
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