Limite

[dem1509]

Ciao! Ho provato a risolvere questo limite ma, non avendo se soluzioni, chiedo a voi la conferma.

$lim_{x \to \+infty}(xsinx)/(lnx+cosx)$
Essendo una forma indeterminata $infty/infty$, ho usato Hopital $lim_{x \to \+infty}(sinx+xcosx)/(1/x-sinx)=+infty$ è giusto??

[ciampax]

No: l'ultimo limite che hai scritto non esiste, per cui il teorema di de l'Hopital non può essere applicato (è una delle ipotesi del teorema che il limite di $f'/g'$ esista). Puoi verificare facilmente, raccogliendo il logaritmo a denominatore, che il limite di partenza non esiste, visto che si riduce ad una cosa del tipo $\frac{x}{\ln x}\cdot\sin x$ che risulta "oscillante"a causa della presenza della funzione seno (mentre la frazione ha limite infinito).

[dem1509]

"ciampax":No: l'ultimo limite che hai scritto non esiste, per cui il teorema di de l'Hopital non può essere applicato (è una delle ipotesi del teorema che il limite di $f'/g'$ esista). Puoi verificare facilmente, raccogliendo il logaritmo a denominatore, che il limite di partenza non esiste, visto che si riduce ad una cosa del tipo $\frac{x}{\ln x}\cdot\sin x$ che risulta "oscillante"a causa della presenza della funzione seno (mentre la frazione ha limite infinito).

Ciao!Non riesco a capire perchè il limite non eseste. Nel secondo limite non posso considerare seno e coseno come funzioni limitate e quindi avere al nominatore (limitata+infinito*limitata) e al denominatore (0-limitata)? Dove devo raccogliere il logaritmo?

[ciampax]

No: la regola dice che "limitato per infinitesima=0", ma non quello che dici tu. Lì è come se avessi, nel prodotto $x\sin x$, una cosa del tipo $n\cdot (-1)^n$ che per $n\to+\infty$ non ammette limite.

Il logaritmo devi raccoglierlo al denominatore della funzione di partenza, dove se no?