Limite
calcolare il limite di: $lim_(x-->0) ((cos^2(x)+cos(x)+1)(cosx-1)((3x-x^3-3x)/(3(x^2+3))-x^(x^4)+1))/(coshx(sen^3x-x^3))$
Questo è il limite da calcolare... Sviluppando con Maclaurin si arriva a questa espressione: $((-x^3/9)*(-x^2/2)+O(x^4))/(sen^3(x)-x^3)$.
Adesso però sviluppando il denominatore non riesco a trovare il termine giusto con cui annullare il termine x^5! come faccio a sviluppare il seno in maniera tale che rimanga un solo monomio che si elida con il numeratore?... Qualcuno ha qualche idea??? Grazie...
Questo è il limite da calcolare... Sviluppando con Maclaurin si arriva a questa espressione: $((-x^3/9)*(-x^2/2)+O(x^4))/(sen^3(x)-x^3)$.
Adesso però sviluppando il denominatore non riesco a trovare il termine giusto con cui annullare il termine x^5! come faccio a sviluppare il seno in maniera tale che rimanga un solo monomio che si elida con il numeratore?... Qualcuno ha qualche idea??? Grazie...
Risposte
Dunque, per alcuni termini la cosa è immediata, in quanto
$$\cos^2 x+\cos x+1=3+o(1),\qquad \cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad \cosh x=1+o(1)$$
Per la parentesi a numeratore con la frazione e l'esponenziale si ha
$$(...)=-\frac{x^3}{9}+o(x^3)-1-x^4\log x+1=-\frac{x^3}{9}+o(x^3)$$
mentre per il denominatore
$$\sin^3 x-x^3=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^3-x^3=x^3-\frac{x^5}{2}+o(x^5)-x^3=-\frac{x^5}{2}$$
$$\cos^2 x+\cos x+1=3+o(1),\qquad \cos x-1=-\frac{x^2}{2}+o(x^2),\qquad \cosh x=1+o(1)$$
Per la parentesi a numeratore con la frazione e l'esponenziale si ha
$$(...)=-\frac{x^3}{9}+o(x^3)-1-x^4\log x+1=-\frac{x^3}{9}+o(x^3)$$
mentre per il denominatore
$$\sin^3 x-x^3=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^3-x^3=x^3-\frac{x^5}{2}+o(x^5)-x^3=-\frac{x^5}{2}$$
non ho capito l' ultimo sviluppo...Cioè anche io ero arrivato ad una forma del genere, ma essendo un cubo di un binomio mi risultavano termini che non potevano elidersi. Mi potresti spiegare come ti risulta $-x^5/2$?
Io una "mezza" spiegazione me la sono data: forse perchè avendo finito lo sviluppo con $o(x^3)$ è lecito non considerare i termini di grado più alto? O sbaglio?
Io una "mezza" spiegazione me la sono data: forse perchè avendo finito lo sviluppo con $o(x^3)$ è lecito non considerare i termini di grado più alto? O sbaglio?
Se sviluppi il cubo hai
1) cubo del primo termine: $x^3$
2) triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo $-{x^5}{2}$
3) triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, che però ha già ordine 7, e non ti serve.
Ti rimane quello che ho scritto.
1) cubo del primo termine: $x^3$
2) triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo $-{x^5}{2}$
3) triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, che però ha già ordine 7, e non ti serve.
Ti rimane quello che ho scritto.
ok ho capito, grazie mille!
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