Limite

[87Fra87]

$ lim_(x->0+)( (xcosx - senx) /(x^2arctanx) )$
Salve a tutti non riesco a capire perchè facendo questo limite in mille modi mi esce sempre -1/2 invece con wolframalpha esce -1/3....io procedo cosi:

$ arctanx~=x$

poi:

$-senx~=-x $

quindi diventa:

$ lim_(x->0+)( (xcosx - x) /(x^3)) $

metto x in evidenza e diventa:

$ lim_(x->0+) ((x(cosx - 1)) /(x^3)) $

cioé:

$ lim_(x->0+) ( (-(1 - cosx)) /(x^2) )$

poi approssimo di nuovo:
$ -(1 - cosx)~= -(1/2)x^2 $
quindi il limite diventa:
$ lim_(x->0+)(-(x^2)/(2(x^2))) = -1/2 $

Dove sbaglio?

[ciampax]

In questo:
$$x\cos x-\sin x\sim x\left(1-\frac{x^2}{2}\right)-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)=-\frac{x^3}{3}$$
Non puoi sostituire a puntate, altrimenti cancelli (o dimentichi) termini utili.

[87Fra87]

Scusa ma non mi è chiaro il passaggio.....come hai fatto per passare a quella forma?

[Frink1]

Sono gli sviluppi di Taylor (in questo caso McLaurin). Comunque se non erro è sconsigliato operare per sostituzione con asintotici quando ci sono somme e differenze...