Limite!

[Sbonfone]

Ciao ragazzi, ho un limite che mi sta dando parecchio filo da torcere; magari è una cavolata ma non trovo la via giusta.
Ho provato con Taylor ma è inutile, Wolfram utilizza 3 volte di fila De L'Hopital dopo aver scritto il limite come $ e^ln $ ma onestamente non mi sembra la via nè più semplice nè più logica.
In tutti i casi il limite è il seguente:

$ lim_(x -> 0) ((e^x^2-1)/x^2)^(1/x^2) $ (è evidente la presenza del limite notevole dentro parentesi ma non riesco a sfruttarlo)

E la soluzione è

$ root(2)((e) $

Grazie per l'aiuto!

[ciampax]

E' un limite in forma esponenziale e usare la relazione $f^g=e^{g\ln f}$ è la via più semplice e più logica, ma senza usare de l'Hopital. L'esponente, riscritto, diventa il seguente
$$\frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\right)$$
Puoi osservare che $e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)$ cosicché tu possa scrivere
$$\frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\right)\sim\frac{1}{x^2}\ln\left(1+\frac{x^2}{2}\right)\sim\frac{1}{x^2}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}$$
(ho usato il fatto che $\ln(1+t)=t+o(t),\ t\to 0$). In definitiva l'esponente si comporta come la costante $1/2$ e quindi il limite vale $e^{1/2}=\sqrt{e}$.

[Sbonfone]

Ti ringrazio, alla fine era abbastanza gnocco effettivamente