Limite

bibus12
Buon pomeriggio, ho un problema con un limite.
Dato questo limite, per $ \omega $ che tende a infinito di $argG(s)=\frac{j\omega}{(j\omega +1)(j\omega +2)} $
A me risulta $ \frac{-3\pi}{2} $, invece dovrebbe risultare $ \frac{-\pi}{2} $.
Credo che il problema riguardi proprio l'argomento che ho trovato, cioè: $ -arctg\frac{\omega}{0}-arctg\omega-arctg\frac{\omega}{2} $.
Grazie in anticipo! :)

Risposte
gugo82
Non capisco bene la richiesta... Vuoi calcolare il:
\[
\lim_{\omega \to \infty} \operatorname{arg} \left( \frac{\jmath\ \omega}{(1+\jmath\ \omega)\ (2+\jmath\ \omega)}\right)\; \text{?}
\]

bibus12
Si! :)

gugo82
Ah, vabbé.

Se \(\omega\) è un reale puoi procedere così.
Razionalizzando ottieni:
\[
\begin{split}
\frac{\jmath\ \omega}{(1+\jmath\ \omega)\ (2+\jmath\ \omega)} &= \frac{\jmath\ \omega\ (1-\jmath\ \omega)\ (2-\jmath\ \omega)}{|1+\jmath\ \omega|^2\ |2+\jmath\ \omega|^2}\\
&= \frac{\omega\ (\omega + \jmath )\ (2+\jmath\ \omega)}{|1+\jmath\ \omega|^2\ |2+\jmath\ \omega|^2}\\
&= \frac{\omega}{|1+\jmath\ \omega|^2\ |2+\jmath\ \omega|^2}\ \big( \omega +\jmath (2+\omega^2)\big)
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\operatorname{arg} \left( \frac{\jmath\ \omega}{(1+\jmath\ \omega)\ (2+\jmath\ \omega)} \right) &= \operatorname{arg} \left( \frac{\omega}{|1+\jmath\ \omega|^2\ |2+\jmath\ \omega|^2}\ \big( \omega +\jmath (2+\omega^2)\big) \right) \\
&= \operatorname{arg} \left( \omega +\jmath (2+\omega^2) \right)\; .
\end{split}
\]
D'altra parte è \(\omega \to \infty\), quindi puoi assumere \(\omega >0\): in tal caso, il numero \(\omega +\jmath (2+\omega^2)\) ha positive entrambe la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario, quindi il suo argomento principale è in \(]0,\pi/2[\) ed esso è espresso da:
\[
\operatorname{arg} \left( \omega +\jmath (2+\omega^2) \right) = \arctan \frac{2+\omega^2}{\omega}\; .
\]
Facendo infine il contariello:
\[
\lim_{\omega \to \infty} \operatorname{arg} \left( \frac{\jmath\ \omega}{(1+\jmath\ \omega)\ (2+\jmath\ \omega)}\right) = \lim_{\omega \to \infty} \arctan \frac{2+\omega^2}{\omega} = \frac{\pi}{2}\; .
\]

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