Limite
Ciao, qualcuno sa aiutarmi con questo limite per favore?
"Calcolare, al variare del parametro reale a, il seguente limite: "
$lim_(n->oo) [(sqrtn +1)/(sqrtn -1) + sin(a/sqrtn)]^n$
Io ho trasformato il limite in $e^(n log [....])$ poi ho risolto con gli sviluppi quello nella quadra e il logaritmo ... ma mi sono bloccata ...
Grazie
"Calcolare, al variare del parametro reale a, il seguente limite: "
$lim_(n->oo) [(sqrtn +1)/(sqrtn -1) + sin(a/sqrtn)]^n$
Io ho trasformato il limite in $e^(n log [....])$ poi ho risolto con gli sviluppi quello nella quadra e il logaritmo ... ma mi sono bloccata ...
Grazie
Risposte
Premetto che non ho fatto nessun conto, ma mi fido del mio sesto senso: non essendo una ragazza non dispongo del classico intuito femminile, dunque non garantisco risultato.
Tuttavia, considererei 3 casi differenti.
1.
$a=0$
In questo caso il limite si riduce a
$\lim_(n->+\infty) (\frac{\sqrt(n)+1}{\sqrt(n)-1})^n$
che non dovrebbe essere difficile da calcolare sfruttando un limite notevole.
2.
$a>0$
Per $a>0$ l'argomento del seno è positivo, dunque il seno tende a zero da destra. Tuttavia c'è una cosa simpatica che dovrebbe essere il principio/teorema di Archimede che dice "dato un reale positivo $x$ esiste sempre $n\in \NN$ tale che $n>x$".
Posso estenderlo e dire che dato un qualsiasi reale positivo $x^2$ esiste sempre $n$ tale che $n>x^2$.
A cosa mi serve? Semplicemente per dire che fissato un qualsiasi $a>0$, esisterà un indice $n_0$ tale per cui $\sqrt(n)>a$ dunque l'argomento del seno diventa positivo e minore di $1$.
Posso considerare asintoticamente $sin(1/(\sqrt(n)))$ oppure posso minorare il seno direttamente con $1$ (dato che $sin(...)
3.
Per $a<0$ vale tutto quello che ho detto al contrario, cioè l'argomento è sempre negativo e tende a zero da sinistra.
Consiglio - e sono sicuro che di tutto il post questa è una delle cose di cui sono convinto - di togliere quelle fastidiose radici cambiando variabile.
Ponendo $k=\sqrt(n)$ otteniamo ($n=k^2=k \cdot k$ con questa sostituzione)
$lim_(k->+\infty) ((\frac{k+1}{k-1}+sin(a/k))^(k))^k=lim_(k->+\infty) ((1+\frac{2}{k-1}+sin(a/k))^(k))^k$.
EDIT
Ho editato perché ho visto da me che è un po' oscuro quello che ho scritto. Nel punto 2. - idem nel 3. con i ritocchi nel caso - la mia idea è quella di pensare $0sperare che siano uguali in modo da applicare il teorema dei due carabinieri.
[size=90]Aggiungo inoltre i complimenti a stan e la squadra tecnica - che vanno sempre fatti per il loro lavoro - ma in questo caso ho modificato e c'erano le righe vuote tra i vari paragrafi: se avete risolto il problema... mitici!
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Tuttavia, considererei 3 casi differenti.
1.
$a=0$
In questo caso il limite si riduce a
$\lim_(n->+\infty) (\frac{\sqrt(n)+1}{\sqrt(n)-1})^n$
che non dovrebbe essere difficile da calcolare sfruttando un limite notevole.
2.
$a>0$
Per $a>0$ l'argomento del seno è positivo, dunque il seno tende a zero da destra. Tuttavia c'è una cosa simpatica che dovrebbe essere il principio/teorema di Archimede che dice "dato un reale positivo $x$ esiste sempre $n\in \NN$ tale che $n>x$".
Posso estenderlo e dire che dato un qualsiasi reale positivo $x^2$ esiste sempre $n$ tale che $n>x^2$.
A cosa mi serve? Semplicemente per dire che fissato un qualsiasi $a>0$, esisterà un indice $n_0$ tale per cui $\sqrt(n)>a$ dunque l'argomento del seno diventa positivo e minore di $1$.
Posso considerare asintoticamente $sin(1/(\sqrt(n)))$ oppure posso minorare il seno direttamente con $1$ (dato che $sin(...)
3.
Per $a<0$ vale tutto quello che ho detto al contrario, cioè l'argomento è sempre negativo e tende a zero da sinistra.
Consiglio - e sono sicuro che di tutto il post questa è una delle cose di cui sono convinto
- di togliere quelle fastidiose radici cambiando variabile.Ponendo $k=\sqrt(n)$ otteniamo ($n=k^2=k \cdot k$ con questa sostituzione)
$lim_(k->+\infty) ((\frac{k+1}{k-1}+sin(a/k))^(k))^k=lim_(k->+\infty) ((1+\frac{2}{k-1}+sin(a/k))^(k))^k$.
EDIT
Ho editato perché ho visto da me che è un po' oscuro quello che ho scritto. Nel punto 2. - idem nel 3. con i ritocchi nel caso - la mia idea è quella di pensare $0
[size=90]Aggiungo inoltre i complimenti a stan e la squadra tecnica - che vanno sempre fatti per il loro lavoro - ma in questo caso ho modificato e c'erano le righe vuote tra i vari paragrafi: se avete risolto il problema... mitici!
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mmmmmh ... comunque in tutti e tre i casi mi esce sempre che il limite fa infinito ... non so se è giusto però mi sembra strano ... Grazie kmq! 
"kika_17":
mmmmmh ... comunque in tutti e tre i casi mi esce sempre che il limite fa infinito ... non so se è giusto però mi sembra strano ... Grazie kmq!
Prego.
Anche a me con $a=0$ mi esce $+\infty$ sfruttando il limite notevole della $e$: ho corretto nel post precedente, ponendo $k= \sqrt(n)$, si ha $n=k^2$.
"kika_17":
mmmmmh ... comunque in tutti e tre i casi mi esce sempre che il limite fa infinito ... non so se è giusto però mi sembra strano ... Grazie kmq!
Tutto sommato non c'è nulla di strano
:infatti, $AA a in RR$, potremo affermare come $EElim_(n to oo)((sqrt(n)+1)/(sqrt(n)-1)+"sen" a/(sqrt(n)))^n=[1^(oo)]=lim_(n to oo) e^(((sqrt(n)+1)/(sqrt(n)-1)+"sen" a/(sqrt(n))-1)n)=lim_(n to oo)e^( "(" 2/(sqrt(n)-1)+"sen" a/(sqrt(n)) ")"n)$,
e che quell'esponente è asintoticamente equivalente, per tutti i valori del parametro, a $(2n)/(sqrt(n)-1)+(an)/(sqrt(n))$
(il quale tende sempre a $+oo$, fregandosene bellamente dei tentativi di $a$ d'evitarlo
).Saluti dal web.
P.S.@James.
Amici come prima
?
"theras":
P.S.@James.
Amici come prima
[ot]Mai stati nemici.
[/ot]
Perfetto Grazie mille a tutti
Grazie mille a tutti
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