Limite

[francicko]

Sono alle prese con il seguente limite per $x$ tendente a $0$:
$lim ((x+1)^(1/2)-(1-x)^(1/4))/(x^2+x)$, ho provato a risolverlo usando lo sviluppo in serie di taylor, e sostituendo si avrebbe $lim (1+x/2-1+x/4)/(x^2+x)=lim3/4$ $x/(x(x+1)$ $=lim(3/4)1/(x+1)$ $=3/4$, che certamente è esatto come risultato, però sicuramente c'è un modo più elementare per arrivarci, solo che al momento non riesco a pensarci, qualcuno potrebbe darmi un suggerimento; Grazie!

[SaraCapobianco]

Prova ad applicare il limite notevole $lim(x->0) [(1+x)^n-1]/x=n$, aggiungendo e sottraendo 1 al numeratore.

[victory92]

"francicko":Sono alle prese con il seguente limite per $x$ tendente a $0$:
$lim ((x+1)^(1/2)-(1-x)^(1/4))/(x^2+1)$, ho provato a risolverlo usando lo sviluppo in serie di taylor, e sostituendo si avrebbe $lim (1+x/2-1+x/4)/(x^2+x)=lim(3x/4)(1/(x(x+1))=lim(3/4)/(x+1)=3/4$, che certamente è esatto come risultato, però sicuramente c'è un modo più elementare per arrivarci, solo che al momento non riesco a pensarci, qualcuno potrebbe darmi un suggerimento; Grazie!

due "piccoli" appunti:
1)il limite, come l'hai scritto all'inizio e come poi l'hai risolto, è sbagliato. o meglio è giusto il numeratore ma non il denominatore. spezza la tua funzione in due e cioè $ lim_(x -> 0) (sqrt (x+1)-root(4)(1-x ))/(x^2+1)=lim_(x -> 0) (sqrt (x+1)-root(4)(1-x ))*1/(x^2+1)= $
$ lim_(x -> 0) (1+x/2-1+x/2)*(1-x^2)=0 $
2)mi spieghi che bisogno avevi di applicarti lo sviluppo in serie di taylor quando non avevi nessuna forma indeterminata? semplicemente sostituendo avevi al numeratore 0 e al denominatore 1? non è che hai scritto il denominatore male? in ogni caso se il denominatore fosse x^2+x (come poi misteriosamente hai scritto) verrebbe 3/4.
cmq sia io i limiti notevoli non ne ricordo molti quindi o usavi lo sviluppo in serie oppure de l'hopital perchè ti bastava derivare una volta.

[francicko]

x@victory92.
Ho corretto il post, avevo digitato male il denominatore che é $x^2+x$,pertanto mi si presentava la forma indeterminata $0/0$, per quanto riguarda il resto il procedimento che ho scelto per la soluzione, cioè lo sviluppo in serie a me è venuto immediato visto che coinvolge solo i primi termini, certamente si poteva anche facilmente applicare de l'hopital, comunque quello che ho notato, dato che ancora non conosco molto bene l'argomento sui limiti, é che, nel momento in cui vengono
coinvolti termini successivi, non bastano più i limiti notevoli, ma per la risoluzione bisogna far uso di de l'hopital o dello sviluppo in serie di taylor, è questo mi sembra esserne un classico esempio; mi sbaglio?

x@SaraCapobianco. Nonostante i tentativi non sono riuscito ad applicare il limite notevole che mi hai suggerito.

Comunque grazie ad entrambi per le correzioni ed i suggerimenti!