Limite
Salve a tutti. Chi puo aiutami con questo limite?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) y^4/(x^2+y^4) $
La dispensa su cui l'ho preso mi dice che non esiste ma quando l ho calcolato con Wolfram ho visto che esiste e il suo risultato è 0. Qualcuno sa spiegarmi perchè e darmi la risposta esatta?
Grazie in anticipo per l aiuto.
$ lim_((x,y) -> (0,0)) y^4/(x^2+y^4) $
La dispensa su cui l'ho preso mi dice che non esiste ma quando l ho calcolato con Wolfram ho visto che esiste e il suo risultato è 0. Qualcuno sa spiegarmi perchè e darmi la risposta esatta?
Grazie in anticipo per l aiuto.
Risposte
ti conviene passare alle cordinate polari imponi: $ { ( x=rho cos phi ),( y=rho sin phi ):} $
e quindi il limite sarà dato da:
$ lim_(rho -> 0) (rho sin phi)^4 /((rho cos phi)^2+(rho sin phi)^4) $
lascio a te la soluzione
e quindi il limite sarà dato da:
$ lim_(rho -> 0) (rho sin phi)^4 /((rho cos phi)^2+(rho sin phi)^4) $
lascio a te la soluzione
Ho fatto la stessa cosa e ottengo che il limite è 0.
Per conferma ho studiato il limite con y=mx e ottengo che il limite o è nullo o non esiste.L ho studiato per x=0 e ottengo che il limite vale 1.
Non so quindi se ho sbagliato a calcolare il limite in coordinate polari o ho sbagliato qualcosa nello studio con le direzioni.Potresti aiutarmi grazie
Per conferma ho studiato il limite con y=mx e ottengo che il limite o è nullo o non esiste.L ho studiato per x=0 e ottengo che il limite vale 1.
Non so quindi se ho sbagliato a calcolare il limite in coordinate polari o ho sbagliato qualcosa nello studio con le direzioni.Potresti aiutarmi grazie
ma guarda con il metodo delle restrizioni secondo me ci si incasina e basta, per di più è un criterio solo sufficiente per determinare l'esistenza del limite stesso per cui è una tecnica che io non utilizzo mai, con le cordinate polari invece è immediato, sei sicuro che zero sia il risultato corretto?? e come se si trattasse di un limite in una variabile ...chi tende più velocemente a 0?? il denominatore o il numeratore?? io direi che tendono a zero tutti e 2 con la stessa velocità (consentimi il termine) per cui per me il limite da 1 e non 0.
okkey perfetto le coordinate polari sono meglio dello studio con le restrizioni. Un ultima cosa
In quanto il limite è questo : $ lim_(rho -> 0) (rho^4*sin^4(varphi ))/(rho^2*cos^2(varphi)+rho^4*sin^4(varphi))=lim_(rho -> 0) (sin^4(varphi))/((cos^2(varphi))/rho^2+sin^4(varphi)) $ e $ rho $ tende a 0 il risultato del limite non è 0?
In quanto il limite è questo : $ lim_(rho -> 0) (rho^4*sin^4(varphi ))/(rho^2*cos^2(varphi)+rho^4*sin^4(varphi))=lim_(rho -> 0) (sin^4(varphi))/((cos^2(varphi))/rho^2+sin^4(varphi)) $ e $ rho $ tende a 0 il risultato del limite non è 0?
Si scusami prima non mi sono fatto tutti i passaggi è chiaramente 0 dato che il denominatore tende a infinito.
Grazie mille per la spiegazione
Non capisco perché vi incasiniate con le restrizioni.
Usando le restrizioni sugli assi si vede subito che la funzione assegnata non può avere limite in \((0,0)\): infatti, avendosi \(f(0,y)=1\) per \(y\neq 0\) ed \(f(x,0)=0\) per \(x\neq 0\), è pure \(\lim_{y\to 0} f(0,y)=1\neq 0=\lim_{x\to 0} f(x,0)\); dunque niente da fare.
Usando le restrizioni sugli assi si vede subito che la funzione assegnata non può avere limite in \((0,0)\): infatti, avendosi \(f(0,y)=1\) per \(y\neq 0\) ed \(f(x,0)=0\) per \(x\neq 0\), è pure \(\lim_{y\to 0} f(0,y)=1\neq 0=\lim_{x\to 0} f(x,0)\); dunque niente da fare.
sono d'accordissimo con te!!!! motivo per il quale io non uso le restrizioni mi incasino sempre (le odio!!)....anche se è un metodo immediato per verificare la non esistenza del limite (come tu stesso hai dimostrato)....ma viceversa non verifica l'esistenza, per cui lo trovo uno strumento incompleto...ecco perchè faccio sempre uso delle cordinate polari, in quel caso è più immediato verificare l'esistenza o meno...però aspetta toglimi un dubbio visto che ci sei 
tu hai dimostrato che il limite non esiste utilizzando come restrizioni gli assi....io però avrei imposto la restrizione y=x e quindi il limite da 1 e poi la restrizione y=-x e dato che f(x,y) è pari rispetto a y il limite è sempre 1, per cui i due limiti sono uguali quindi io avrei concluso che non so nulla sull'esistenza di questo limite...in quanto le restrizioni sono un criterio sufficiente per la NOn esistenza e non mi dicono nulla sull'esistenza, sbaglio qualcosa???
tu hai dimostrato che il limite non esiste utilizzando come restrizioni gli assi....io però avrei imposto la restrizione y=x e quindi il limite da 1 e poi la restrizione y=-x e dato che f(x,y) è pari rispetto a y il limite è sempre 1, per cui i due limiti sono uguali quindi io avrei concluso che non so nulla sull'esistenza di questo limite...in quanto le restrizioni sono un criterio sufficiente per la NOn esistenza e non mi dicono nulla sull'esistenza, sbaglio qualcosa???
Non sbagli.
Però mi sfugge il perché avresti voluto prendere quelle restrizioni e non altre, come quelle sugli assi, che sono più semplici e ti danno più informazioni.
Un'altra scelta opportuna per le restrizioni è considerare la famiglia di parabole di equazioni \(x=ay^2\); restringendo \(f\) al generico elemento di tale famiglia si trova:
\[
f(ay^2,y) = \frac{1}{a^2+1}
\]
e perciò il limite per \((x,y)\to (0,0)\) della funzione assegnata non può esistere.
Insomma, si tratta di fare una scelta con criterio.
Inoltre, noto che le coordinate polari, se non sono gestite in maniera accorta, portano a conclusioni errate.
Ad esempio, nel caso in esame, il ragionamento va in vacca se non si distinguono i casi \(\phi \neq \pm \pi/2\) e \(\phi = \pm \pi/2\).
Però mi sfugge il perché avresti voluto prendere quelle restrizioni e non altre, come quelle sugli assi, che sono più semplici e ti danno più informazioni.
Un'altra scelta opportuna per le restrizioni è considerare la famiglia di parabole di equazioni \(x=ay^2\); restringendo \(f\) al generico elemento di tale famiglia si trova:
\[
f(ay^2,y) = \frac{1}{a^2+1}
\]
e perciò il limite per \((x,y)\to (0,0)\) della funzione assegnata non può esistere.
Insomma, si tratta di fare una scelta con criterio.
Inoltre, noto che le coordinate polari, se non sono gestite in maniera accorta, portano a conclusioni errate.
Ad esempio, nel caso in esame, il ragionamento va in vacca se non si distinguono i casi \(\phi \neq \pm \pi/2\) e \(\phi = \pm \pi/2\).
ho capito, quindi in poche parole la scelta del tipo di restrizione dipende anche molto dal tipo di f(x,y) questo dunque mi porta a scegliere delle restrizioni che siano coerenti e ragionate e non buttate a caso, e nel caso delle cordinate polari il limite deve deve essere indipendente dal valore di theta ok forse ci sono grazie mille @gusto82
ok forse ci sono grazie mille @gusto82
"MasterCud":
...in quanto le restrizioni sono un criterio sufficiente per la NOn esistenza e non mi dicono nulla sull'esistenza, sbaglio qualcosa???
Si è cosi MasterCud.
gugo grazie per la spiegazione Ho solo un' altra domanda:con le restrizioni abbiamo appena dimostrato che il limite non esiste in quanto con direzioni diverse il risultato è diverso quindi non è valido il teorema di unicità,ma perchè con le coordinate polari otteniamo che il limite esiste e vale 0? Il problema sta nel fatto di non aver considerato $ phi=+pi/2 , phi=-pi/2 $ ?
Ho solo un' altra domanda:con le restrizioni abbiamo appena dimostrato che il limite non esiste in quanto con direzioni diverse il risultato è diverso quindi non è valido il teorema di unicità,ma perchè con le coordinate polari otteniamo che il limite esiste e vale 0? Il problema sta nel fatto di non aver considerato $ phi=+pi/2 , phi=-pi/2 $ ?
"Davidemas":
gugo grazie per la spiegazione
Esattamente.
Vi siete persi delle informazioni nello svolgimento.
Quindi il limite per $ varphi != +- pi/2 $ il limite tende a 0
per $ varphi = +- pi/2 $ il limite tende a 1
Conclusione: il limite non esiste
per $ varphi = +- pi/2 $ il limite tende a 1
Conclusione: il limite non esiste
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo