Limite

[xnix]

$lim_(x->0) (x^3)/((sin(sin(x))-x)$ il risultato dovrebbe essere $-3$, ma che metodo utilizzereste per risolverlo voi?

[Quinzio]

Di sicuro con l'hopital si risolve.
Dopo 4 iterazioni al numeratore c'è 0. Al denominatore forse c'è ancora qualcosa $\ne 0$

[xnix]

io avevo pensato per $sen^2 x$ di svilupparlo con mc laurin e il numeratore se necessario applicare hopital.. che dici?

[21zuclo]

"xnix":io avevo pensato per $sen^2 x$ di svilupparlo con mc laurin e il numeratore se necessario applicare hopital.. che dici?

perchè $\sin^2 x$ ?.. tu hai $\sin(\sin x)$ che è diverso da $\sin^2 x$

Comunque sì utilizza Mc-Laurin solo a denominatore sviluppa $\sin x$ all'interno del seno e poi fai l'asintotico!

[theras]

C'è sempre quell'ingiustamente trascuratissima uguaglianze al limite,ottenibile per via "elementare",
che assicura come $EElim_(t to 0)(t-"sen"t)/(t^3)=1/6$:
se smanetti un pò(per partire bene basta aggiungere e sottrarre $"sen"x$ al denominatore..),
può esser utile per notare che la tua funzione converge a $-1/(1/6+1/6)=-3$ ..
Saluti dal web.

[xnix]

scusa potresti spiegarmi meglio? grazie in anticipo

[Plepp]

Seguendo il suggerimento di Theras (che suggerisce quella che forse è la strada più furba, a patto di sapere già che il limite da lui citato vale $1/6$), hai
\[\dfrac{x^3}{\sin(\sin(x)) -x}=\dfrac{x^3}{\sin(\sin(x)) -\sin (x) -x+\sin(x)}=\left(-\dfrac{\sin(x)-\sin(\sin(x))}{x^3}- \dfrac{x-\sin (x)}{x^3}\right)^{-1}\]
Il primo "pezzo" tende a $-1/6$, una volta osservato che $x^3\approx \sin^3(x)$ e posto $t:=\sin(x)$; il secondo è proprio il limite di cui si parlava prima. Hai quindi
\[\lim \dfrac{x^3}{\sin(\sin(x)) -x}=\dfrac{1}{-1/6-1/6}=-3\]
Ciao