Limite

[ingegnè]

Salve, qualcuno sa aiutarmi a risolvere questa forma indeterminata $ lim ((a^(1/n)+b^(1/n))/2)^n $ con a e b in R+?

[gio73]

Ciao Pongo,
io non ti so rispondere, ma vorrei farti una domanda: $n$ dovrebbe tendere a infinito?

[ingegnè]

Si, n tende ad infinito non l'ho specificato.

[Plepp]

A occhio, mi sembra che sia sufficiente raccogliere uno tra $a^{1/n}$ e $b^{1/n}$.

[gugo82]

Tanto per dirne una...

Ponendo \(p=1/n\), si vuole calcolare:
\[
\lim_{p\to 0} \left( \frac{a^p+b^p}{2}\right)^{1/p}
\]
cioé si vuole determinare il limite delle medie generalizzate \(\mathcal{M}_p(a,b):= \left( \frac{a^p+b^p}{2}\right)^{1/p}\) quando \(p\) tnde a zero.
In tal caso, dato che \(p\mapsto \mathcal{M}_p(a,b)\) è continua e dato che \(\mathcal{M}_0(a,b)\) coincide con la media geometrica, si ha:
\[
\lim_{p\to 0} \left( \frac{a^p+b^p}{2}\right)^{1/p} =\sqrt{a\ b}\; .
\]
Per dimostrare questa relazione, bisogna usare il trucco citato da TeM, l'approssimazione asintotica di MacLaurin del logaritmo e l'approssimazione di Taylor al primo ordine per la funzione \(p\mapsto \frac{a^p+b^p}{2}\).

[ingegnè]

Grazie per le risposte. Il problema si risolve con la media geometrica come hai fatto tu gugo ma ho un dubbio, la professoressa ci ha detto " Se $ lim a_n =a $ allora $ lim root(n)((a_1*a_2*a_n)) =a $" e poi " Se $ lim (a_(n+1))/a_n =a $ allora $ lim root(n)((a_n)) =a $ " come faccio a conlcudere che il risultato sia, come effettivamente è, quello che hai detto tu?