Limite

[fabio2290]

Salve a tutti!E' da molto che non scrivo su questo forum, quindi perdonate la mia sintassi per quanto riguarda le formule.In questi giorni mi sto esercitando sullo svolgimento dei limiti e sono capitato su questo limite che sono riuscito a svolgere ma che non mi sento tanto sicuro sul ragionamento fatto.
Qui sotto scrivo il limite e i procedimenti eseguiti:
\$lim_(x->0)(x^2+2*x)^{1-cos(x)}\$
Ho iniziato sfruttando la funzione identica in maniera tale da rendere 1-cos(x) la potenza del logaritmo :

lim_(x->0)(e^[1-cos(x)*ln((x^2)*(1+2/x)]

a questo punto ho moltiplicato e diviso per x^2 in maniera da poter sfruttare un limite notevole 1-cos(x)/x^2=1/2 , a questo punto per quanto riguarda la parte rimasta :

lim_(x->0)(e^[(1/2)*x^2*ln((x^2)*(1+2/x)])=lim_(x->0)(e^[(1/2)*[(x^2)*lnx^2+(x^2)*ln(1+2/x)]])
A questo punto ho applicato una sostituzione 2/x=t quindi x->0 avrò t-> infinito e in questo modo avere il secondo termine che mi richiamiun limite notevole ln(1+t)/t=1

lim_(t->infty)([e^[(2/t^2)*ln(4/t^2)]]*[e^[(2/t)*(ln(1+t)/t)]

a questo punto non sono sicuro se il ragionamento è giusto..... in quanto ho un termine che è il limite notevole che tende a 1 moltiplicato per 4/t che invece tende a 0 quindi il prodotto è 0 e poi i primi termini sono un rapporto tra infiniti e quindi anche loro tendono a zero, quindi il limite è
e^0=1
il ragionamento è giusto??

[Noisemaker]

"fabio2290":Salve a tutti!E' da molto che non scrivo su questo forum, quindi perdonate la mia sintassi per quanto riguarda le formule.In questi giorni mi sto esercitando sullo svolgimento dei limiti e sono capitato su questo limite che sono riuscito a svolgere ma che non mi sento tanto sicuro sul ragionamento fatto.
Qui sotto scrivo il limite e i procedimenti eseguiti:
$lim_(x->0)(x^2+2*x)^{1-cos(x)}$
Ho iniziato sfruttando la funzione identica in maniera tale da rendere $1-cos(x)$ la potenza del logaritmo :

$ lim_(x->0)(e^[1-cos(x)*ln((x^2)*(1+2/x)$

a questo punto ho moltiplicato e diviso per $x^2$ in maniera da poter sfruttare un limite notevole $1-cos(x)/x^2=1/2 $, a questo punto per quanto riguarda la parte rimasta :

$lim_(x->0)(e^[(1/2)*x^2*ln((x^2)*(1+2/x)])=lim_(x->0)(e^[(1/2)*[(x^2)*lnx^2+(x^2)*ln(1+2/x)]])$
A questo punto ho applicato una sostituzione $2/x=t$ quindi $x->0$ avrò $t-> oo$e in questo modo avere il secondo termine che mi richiamiun limite notevole $\ln(1+t)/t=1 $

$lim_(t->infty)([e^[(2/t^2)*ln(4/t^2)]]*[e^[(2/t)*(ln(1+t)/t)]$

a questo punto non sono sicuro se il ragionamento è giusto..... in quanto ho un termine che è il limite notevole che tende a 1 moltiplicato per 4/t che invece tende a $0$ quindi il prodotto è 0 e poi i primi termini sono un rapporto tra infiniti e quindi anche loro tendono a zero, quindi il limite è
$e^0=1 $
il ragionamento è giusto??

[fabio2290]

Quindi il procedimento è giusto?

[Brancaleone1]

Il risultato è giusto.
Un altro modo per calcolarlo consiste nell'impiegare gli ordini di infinitesimo sfruttando McLaurin:

$lim_(x->0)(x^2+2x)^(1-cos(x))=(x^2+2x)^[(1-1+x^2/2+o(x^2))]=(0 text( di ordine 1))^[(0 text( di ordine 2))]=1$

al primo passaggio si è applicato McLaurin per la funzione coseno;
al secondo passaggio si controlla chi tende a $0$ più rapidamente: poiché il termine elevato a potenza tende a $0$ più velocemente, il limite si riconduce al caso $lim_(x->0)a^x=1$