Limite

[maria601]

Ho la traccia $\lim_(\n\to \infty ) ((n^3+n+2)/(n^3+2 ))^(sqrt(n +sen n))$, è il limite di una successione, devo cambiare variabile o scriverlo sotto forma esponenziale?

[theras]

"maria60":Ho la traccia $lim_(n to oo ) ((n^3+n+2)/(n^3+2 ))^(sqrt(n +sen n))$, è il limite di una successione, devo cambiare variabile o scriverlo sotto forma esponenziale?

Magari osserva che $((n^3+n+2)/(n^3+2 ))^(sqrt(n +sen n))=[(1+n/(n^3+2))^((n^3+2)/n))]^((n*sqrt(n+"sen"n))/(n^3+2))$ $AAn inNN$:
dovrebbe esserti utile,se unito all'uso del teorema dei due carabinieri..
Saluti dal web.

[maria601]

Ho provato ad applicare il teorema dei due carabinieri .... ma come ?

[Obidream]

"maria60":Ho la traccia $\lim_(\n\to infty ) ((n^3+n+2)/(n^3+2 ))^(sqrt(n +sen n))$, è il limite di una successione, devo cambiare variabile o scriverlo sotto forma esponenziale?

Io proverei in questo modo(ingrandisco per comodità):
[size=130]
$lim_(n->+oo) e^(sqrt(n+sin(n))*log(1+n/(n^3+2)))$

$lim_(n->+oo) e^(sqrt(n+sin(n))*log(1+n/(n^3+2))*(n^3+2)/n*n/(n^3+2))$[/size] ( così ottengo il limite notevole $lim_(x->0) log(1+x)/x=1$

Ora osservi che $lim_(n->+oo) sqrt(n+sin(n))*n/(n^3+2)=0$ e da qui dovresti concludere

[maria601]

Una domanda ma limite per n che va all'infinito di $ sqrt(n + sen n) $ vale infinito ?

[Noisemaker]

\begin{align}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n+\sin n=}\lim_{n\to +\infty}\sqrt n\cdot \sqrt{1+\frac{\sin n}{n}}=\end{align}

da cui dovresti concludere

[maria601]

$ (sin n)/n $ al tendere ad infinito di n vale 0, quindi il precedente limite vale infinito.

[Noisemaker]

esattamente, il rapporto $\sin n/n\to0$ in quanto rapporto tra una successione limitata ed una infinitesima, e quindi quel limite va a $+\infty$

[Obidream]

"Noisemaker":\begin{align}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n+\sin n=}\lim_{n\to +\infty}\sqrt n\cdot \sqrt{1+\frac{\sin n}{n}}=\end{align}

Un metodo aggiuntivo seguendo il consiglio di Theras, sarebbe questo:

$-1<=sin(n)<=1$

$sqrt(n-1)<=sqrt(1+sin(n))<=sqrt(n+1)$

Per $x->+oo$ le quantità a destra e a sinistra $->+oo$ quindi anche il limite al centro fa $+oo$

[Noisemaker]

"Obidream":[quote="Noisemaker"]\begin{align}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n+\sin n=}\lim_{n\to +\infty}\sqrt n\cdot \sqrt{1+\frac{\sin n}{n}}=\end{align}

Un metodo aggiuntivo seguendo il consiglio di Theras, sarebbe questo:

$-1<=sin(n)<=1$

\begin{align}\sqrt{n-1}\le\sqrt{\color{red}n+\sin n}\le\sqrt{n+1}\end{align}

Per $x->+oo$ le quantità a destra e a sinistra $->+oo$ quindi anche il limite al centro fa $+oo$ [/quote]

[Obidream]

"Noisemaker":[quote="Obidream"][quote="Noisemaker"]\begin{align}\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n+\sin n=}\lim_{n\to +\infty}\sqrt n\cdot \sqrt{1+\frac{\sin n}{n}}=\end{align}

Un metodo aggiuntivo seguendo il consiglio di Theras, sarebbe questo:

$-1<=sin(n)<=1$

\begin{align}\sqrt{n-1}\le\sqrt{\color{red}n+\sin n}\le\sqrt{n+1}\end{align}

Per $x->+oo$ le quantità a destra e a sinistra $->+oo$ quindi anche il limite al centro fa $+oo$ [/quote]
[/quote]
Grazie, effettivamente ho scritto senza guardare

[theras]

Beh,ragazzi,lo scrivo per completezza:
procedendo così è più il caso di parlare di teorema del confronto,
ma io intendevo dire che andava sfruttata la disuguaglianza $(n*sqrt(n-1))/(n^3+2)<(n*sqrt(n+"sen"n))/(n^3+2)<(n*sqrt(n+1))/(n^3+2)$ $AA n in NN$
(i minori sono in senso stretto..)
ed il teorema dei due carabinieri propriamente detto..
Saluti dal web.