Limite

[dennysmathprof]

abbiamo una funzione [tex]\in C^2, D_f=(-4,+\infty)\rightarrow (0,+\infty),[/tex]

1)[tex]2f{'}{'}(x)=3 f^{2}(x),\forall x\in(-4,+\infty)[/tex]

2) [tex]f(-2)=1,f{'}(-2)=-1[/tex]

vogliamo il [tex]\lim_{k\to +\infty}\int_{-1}^{k}f(x)dx[/tex]

[Rigel1]

4/3?

[dennysmathprof]

Rigel la risposta e' esata. Grazie per la risposta.

[theras]

Ma almeno un hint forse è il caso di metterlo,se qualcun altro volesse provare:
non esagero e dico solo che,ad occhio,
moltiplicando ambo i membri dell'ipotesi (2) per $f'(x)$($>0$ $AA x in(-4,+oo)$..)ed usando opportunamente l'ipotesi (2.1),
grazie alla (2.2) ci si riconduce,ai fini dell'individuazione di $f$,ad un P.d.C. ed un integrale improprio alquanto malleabili:
chiaramente,visto uno dei coinvolti in questo thread,m'aspetto la prima smentita del nuovo anno o,se son fortunato,
metodi più eleganti e/o rapidi !
Saluti dal web.

[Rigel1]

Ho fatto sostanzialmente come suggerisce theras, ma anche io non escludo che ci possa essere qualche metodo più rapido.

[theras]

"Rigel":Ho fatto sostanzialmente come suggerisce theras, ma anche io non escludo che ci possa essere qualche metodo più rapido.

Chissà perchè l'istinto mi suggerisce che presto o tardi ne posterai uno che ci lascerà tutti basiti :
o forse trattasi di esperienza ?
Saluti dal web.

[dennysmathprof]

[tex]\displaystyle{2f''f'=3f^2f'\Rightarrow (f')^2=f^3+c_1} [1][/tex]

[tex]\displaystyle{f'(-2)=-1,f(-2)=1\Rightarrow c_1=0}[/tex] e dal'ipotesi [tex]\displaystyle{f>0}[/tex]

cioe' [tex]{\frac{|f'|}{f^{3/2}}=1 \Rightarrow f' \ne 0,f'(-2)<0 \Rightarrow f'<0}[/tex]

[tex]\frac{2}{\sqrt{f}}=x+c_2[/tex]

[tex]\displaystyle{f(-2)=1\Rightarrow c_2=4}[/tex]

[tex]\displaystyle{f(x)=\frac{4}{(x+4)^2}\Rightarrow \int_{-1}^{k}{f(x)dx}=4/3+4/(4+k)\to 4/3}[/tex]