Limite

[MarkNin]

salve a tutti,
ho dei problemi con questo limite:

$ lim_(x -> +oo) (arctg^4 (3/sqrt(x))+1)^(x/4) + ( root(4)(cos(3/x)) - root(5)(cos(3/x)))/(arsin^2(3/x)) $

allora per le proprietà dei limiti l'ho riscritto così:
$ lim_(x -> +oo) (arctg^4 (3/sqrt(x))+1)^(x/4) +lim_(x -> +oo) ( root(4)(cos(3/x)) - root(5)(cos(3/x)))/(arsin^2(3/x)) $

dove per il primo limite:
$ e^(1/4 lim_(x -> +oo) x ln(arctg^4 (3/sqrt(x))+1))$

da qui non so più come procedere...qualcuno può aiutarmi???

grazie

[Noisemaker]

Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, ammesso che questi esistano ...

osserva che, quando $x\to+\infty,$ abbbiamo:

$\arctan^4\frac{3}{\sqrt x}\sim \frac{81}{ x^2},\quad \arcsin^2\frac{3}{x}\sim \frac{9}{x^2}$

quindi:

\begin{align*}
\lim_{ x \to+\infty } \left(\frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}}+\frac{\sqrt[4]{\cos\frac{3}{x}} -\sqrt[5]{\cos\frac{3}{x}}}{ \frac{9}{x^2}}
\end{align*}

sviluppando il coseno con Taylor, essendo infinitesimo, ottieni:

\begin{align*}
\lim_{ x \to+\infty } \left( \frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}}+\frac{\sqrt[4]{1-\frac{1}{2}\frac{9}{x^2}} -\sqrt[5]{1-\frac{1}{2}\frac{9}{x^2}}}{ \frac{9}{x^2}}= \lim_{ x \to+\infty } \left(\frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}}+\frac{\sqrt[4]{1- \frac{9}{2x^2}}+1-1 -\sqrt[5]{1- \frac{9}{2x^2}}}{ \frac{9}{x^2}}
\end{align*}

adesso, essendo $(1+x)^{\beta}-1\sim\beta x,$ quando $x\to0,$ ottieni:

\begin{align*}
\lim_{ x \to+\infty } \left( \frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}}+\frac{ \frac{1}{4}\cdot \frac{9}{2x^2} - \frac{1}{5}\cdot \frac{9}{2x^2} }{ \frac{9}{x^2}}= \lim_{ x \to+\infty } \left( \frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}}+\frac{ -\frac{9}{40x^2} }{ \frac{9}{x^2}}= \lim_{ x \to+\infty } \left(\frac{81}{ x^2}+1\right)^{\frac{x}{4}} -\frac{1}{40}
\end{align*}

a questo punto il gioco è praticamente fatto