Limite 0/0 con numero di Eulero. [Risolto]

[LoreT314]

Salve, mi sono imbattuto in questo limite che nn riesco a risolvere...
$ lim_(x -> 0^(+) )(1/x(e-(1+x)^(1/x))) $
Allora io ho pensato: $(1+x)^(1/x,)$ tende ad $e$ per via del limite notevole del numero di nepero e quindi si genera una forma indeterminata $[0/0]$. Limiti notevoli nn ne vedo, ho provato ad applicare lhopital ma nn riesco a derivare $(1+x)^(1/x,)$. Ho pensato anche a usare taylor ma nn so come trattare l'elevazione a $1/x$. Insomma nn so proprio da dove partire. Voi avete qualche consiglio?

[Berationalgetreal]

\[ (1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln (1+x)}{x}} \]

Quindi:

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} {\frac{ e - e^{\frac{\ln (1+x)}{x}}}{x}} &= - e \lim_{x \to 0^+} {\frac{ e^{\frac{\ln (1+x)}{x} -1} -1}{x}} \\ &= - e \lim_{x \to 0^+} {\frac{ e^{\frac{\ln (1+x) - x}{x}} -1}{x}} \\ &= -e \lim_{x \to 0^+} {\frac{ e^{\frac{\ln (1+x) - x}{x}} -1}{\frac{\ln(1+x) -x}{x}} \frac{\ln(1+x) -x}{x^2}} \end{aligned} \]

Adesso concludi tu

[LoreT314]

Ok grazie mille. Devo ricordarmi sempre che l'identità di bernoulli ti salva la vita.
A questo punto il primo fattore tende ad uno per il limite notevole, il secondo posso usare taylor o l'hopital e tende a $-1/2$ e quindi tutto il limite tende a $e/2$.
grazie ancora