Limitatezza operatore di convoluzione

[Epimenide93]

Sia \(k \in L^p(\mathbb{R}^n)\), \(A : L^1 \to L^p\) definita come segue: \[A(f) = \int k(x-y) f(y) dy\] Dimostrare che \(A\) è limitato e che \( \left \| Af \right \| _p \le \left \| k \right \| _p \left \| f \right \| _1\).

L'ultima stima mi lascia perplesso. Propongo il mio procedimento:

\[
\begin{split}
\left \| Af \right \| ^p_p &= \int \left | \int k(x-y) f(y) dy \right | ^p dx \\
& \le \int \left ( \int \left | k(x-y) f(y) \right | dy \right ) ^p dx \\
& \le \int \left ( \int \left | k(x-y) \right | ^p dy \right ) \left ( \int \left | f(y) \right | ^{p'} dy \right )^{p/{p'}} dx \\
&= \left \| f \right \| _{p'}^p \ \left \| k \right \| _p^p
\end{split}
\][strike]Ora, si ha che \( \left \| f \right \| _{p'} \ge \left \| f \right \| _1\), e non saprei proprio come migliorare la stima per soddisfare la richiesta nell'esercizio. Qualcuno ha dei suggerimenti?[/strike] Risolto. Il secondo integrale si ottiene con la sostituzione \(z = x-y\).

Sia \(k \in L^p(\mathbb{R}^n)\), \(A : L^{p'} \to L^{\infty}\) definita come segue: \[A(f) = \int k(x-y) f(y) dy\] Dimostrare che \(A\) è limitato e che \( \left \| Af \right \| _{\infty} \le \left \| k \right \| _p \left \| f \right \| _{p'}\).

L'idea di fondo è la stessa di prima:
\[
\begin{split}
\left \| Af \right \| _{\infty} &= \sup_x \left | \int k(x-y) f(y) dy \right | \\
& \le \sup_x \int \left | k(x-y) f(y) \right | dy \\
&\le \left \| f \right \| _{p'} \sup_x \left ( \int \left | k(x-y) \right | ^p dy \right )^{1/p}
\end{split}
\]anche qui mi sembra abbastanza ovvio che quel \(\sup_x\) sia ininfluente, ma non saprei come giustificarlo, e mi chiedo se continui ad essere legittima la sostituzione \(z = x-y\), con quel \(\sup_x\) lì davanti temo di fare qualche abuso. Ponendo \(z(x) = x-y\) verrebbe
\[
\sup_x \left ( \int \left | k(z) \right | ^p dz \right )^{1/p} = \sup_x \left \| k \right \| _p = \left \| k \right \| _p
\]
sottendendo alla prima uguaglianza il fatto che vale per ogni valore di \(z\) (e quindi di \(x\)), ma è un ragionamento che non mi convince del tutto. È corretto? C'è un modo migliore?

Ringrazio chiunque provi ad aiutarmi.

EDIT: messa in spoiler la parte risolta.

[Epimenide93]

Penso di aver risolto per quel che riguarda il primo esercizio.

Si ha
\[
\begin{split}
\left | \int k(x-y) f(y) dy \right | & \le \int \left | k(x-y) \right | ^{1/p} \left | k(x-y) \right | ^{1/{p'}} \left | f(y) \right | dy \\
& \le \left ( \int \left | k(x-y) \right | \left | f(y) \right | ^p dy \right ) ^{1/p} \left ( \int \left | k(x-y) \right | dy \right ) ^{1/{p'}}\\
\end{split}
\]
ovvero
\[
\left | \int k(x-y) f(y) dy \right |^p \le \left ( \int \left | k(x-y) \right | \left | f(y) \right | ^p dy \right ) \left ( \int \left | k(x-y) \right | dy \right ) ^{p/{p'}}
\]
da cui
\[
\begin{split}
\int \left | \int k(x-y) f(y) dy \right |^p dx & \le \int \left ( \int \left | k(x-y) \right | \left | f(y) \right | ^p dy \right ) \left ( \int \left | k(x-y) \right | dy \right ) ^{p/{p'}} dx\\
& = \int \left ( \int \left | k(x-y) \right | dx \right ) \left | f(y) \right | ^p dy \ \left \| k \right \| ^{p/{p'}}_1\\
&= \left \| k \right \| ^{\frac{p}{p'} +1}_1 \ \int \left | f(y) \right | ^p dy\\
&= \left \| k \right \| ^{\frac{p}{p'} +1}_1 \ \left \| f \right \| ^{p}_p \\
\end{split}
\]elevando ad \(1/p\) gli estremi della disuguaglianza si ottiene la stima cercata.

Resta il dubbio che ho esposto riguardo il cambio di variabile ed il \(\sup\), ringrazio chiunque abbia voglia di chiarirmi le idee.

[Rigel1]

"Epimenide93":[spoiler]

Sia \(k \in L^p(\mathbb{R}^n)\), \(A : L^{p'} \to L^{\infty}\) definita come segue: \[A(f) = \int k(x-y) f(y) dy\] Dimostrare che \(A\) è limitato e che \( \left \| Af \right \| _{\infty} \le \left \| k \right \| _p \left \| f \right \| _{p'}\).

L'idea di fondo è la stessa di prima:
\[
\begin{split}
\left \| Af \right \| _{\infty} &= \sup_x \left | \int k(x-y) f(y) dy \right | \\
& \le \sup_x \int \left | k(x-y) f(y) \right | dy \\
&\le \left \| f \right \| _{p'} \sup_x \left ( \int \left | k(x-y) \right | ^p dy \right )^{1/p}
\end{split}
\]anche qui mi sembra abbastanza ovvio che quel \(\sup_x\) sia ininfluente, ma non saprei come giustificarlo, e mi chiedo se continui ad essere legittima la sostituzione \(z = x-y\), con quel \(\sup_x\) lì davanti temo di fare qualche abuso. Ponendo \(z(x) = x-y\) verrebbe
\[
\sup_x \left ( \int \left | k(z) \right | ^p dz \right )^{1/p} = \sup_x \left \| k \right \| _p = \left \| k \right \| _p
\]
sottendendo alla prima uguaglianza il fatto che vale per ogni valore di \(z\) (e quindi di \(x\)), ma è un ragionamento che non mi convince del tutto. È corretto? C'è un modo migliore?

E' corretto.
Se ci pensi, indipendentemente dal valore di \(x\) stai integrando la funzione \(|k|^p\) su tutto \(\mathbb{R}^n\) (ed è infatti ciò che vedi quanto fai il cambiamento di variabili).

[Epimenide93]

"Rigel":
E' corretto.
Se ci pensi, indipendentemente dal valore di \(x\) stai integrando la funzione \(|k|^p\) su tutto \(\mathbb{R}^n\) (ed è infatti ciò che vedi quanto fai il cambiamento di variabili).

Grazie mille! Sai com'è, quando ci sono di mezzo più passaggi al limite cerco di andarci coi piedi di piombo.

[Rigel1]

"Epimenide93":
Grazie mille! Sai com'è, quando ci sono di mezzo più passaggi al limite cerco di andarci coi piedi di piombo.

Eh, capisco bene il terrore degli algebristi per il continuo

[Epimenide93]

"Rigel":
Eh, capisco bene il terrore degli algebristi per il continuo

Grazie ancora!