Limitatezza funzione in più variabili

[enpires1]

Ragazzi ho questo esercizio di cui non capisco proprio il senso:
sia $f: RR^2 -> RR^3, f(x,y) = (xy, x+y, x-y)$.
Dire se f è limitata, rispettivamente in, $RR^2$ e nel rettangolo ${(x,y) : |x| <= 4, 0 <= y <= 2}$ e calcolare $lim_((x,y)->(2,1)) f(x,y)$

Ora... Il limite ho semplicemente sostituito, e ho messo il risultato $(2,3,1)$ il resto dell'esercizio non mi è chiaro per nulla..
Cosa intende per limitata??
Io ho pensato possa essere 2 cose... la prima una "limitatezza" del dominio, e quindi sarebbe non limitata in quanto definita in tutto $RR^2$
In secondo luogo, ho pensato ad una limitatezza di valore (del tipo "il seno è limitato tra 1 e -1), e allora (in uno spazio vettoriale) la cosa più simile è l'esistenza di una lunghezza massima di $||f(x,y)||$, ma anche qui non sarebbe così, siccome il vettore, quando x e y tendono ad infinito, tende ad infinito (come norma)...

Sinceramente non so che pesci prendere... aiutino??

[Fioravante Patrone1]

ho pensato ad una limitatezza di valore (del tipo "il seno è limitato tra 1 e -1)

Questa è l'interpretazione univoca della domanda. Non può esserci dubbio alcuno.

[enpires1]

Quindi quello che ho fatto dopo, ovvero vedere se ci fosse una limitatezza per quanto riguarda la norma del vettore risultante, è corretto?

[Fioravante Patrone1]

Una funzione si dice limitata se la sua immagine è un sottoinsieme limitato del codominio.

La definizione ha senso laddove (e solo laddove) sia noto cosa vuol dire che un (sotto)insieme è limitato.

Ad esempio, non ha senso se il codominio è un insieme "privo di struttura", o se è uno spazio topologico. Mentre ha senso se il codominio è, ad esempio, uno spazio metrico, o se è un insieme totalmente ordinato.

[enpires1]

Quindi vediamo se ho capito... Per la prima domanda che mi chiede, se nel suo dominio $RR^2$ riesce a prendere tutti i punti di $RR^3$ allora non è limitata, viceversa lo è... giusto??

[Fioravante Patrone1]

No.

Chi sono gli insiemi non limitati di $RR^3$?

[regim]

Una funzione definita in generale in uno spazio metrico X(come puó esserlo $RR^2$ in questo caso) a valori in uno spazio euclideo, si dice limitata quando esiste un certo M>0 tale per cui la norma dei punti dell'immagine della funzione é minore di M per ogni P di X, e si esprime in formula $|f(P)| Ti si chiede di sapere se l'immagine della funzione é un insieme limitato oppure no. E su $RR^2$ questa funzione non lo é, sul rettangolo invece lo é perché quella é una funzione continua, per questa stessa ragione anche il limite cosí come lo hai calcolato va bene.

[enpires1]

Se non sbaglio, qualsiasi sottinsieme i cui elementi hanno norma minore od uguale di un certo valore sono limitati