Limitatezza di una funzione
Buongiorno a tutti!! Avrei un gran bisogno di un chiarimento in merito ad un dubbio teorico con applicazione ad un esercizio...mi spiego:
Io so che una funzione è limitata in un intervallo se (in parole povere) esiste asintoto orizzontale , mentre il teorema della limitatezza mi dice che una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata ... ma per esempio tan(x) definita in (0,pi/2 ) è continua ma non limitata... quindi il mio problema è che non mi è chiaro il come capire quando una F(x) è limitata e che 'mezzi' usare per farlo.
Il dubbio è nato per questo esercizio:
data y''(x)+k y'(x)+4 y(x) =0 determinare per quali k reali tutte le soluzioni sono limitate in [0,+inf).
io ho trovato le soluzioni al variare di k , ma come vedo se sono limitate nella pratica???
ex. soluzione 1: y(x)=C1 e^[(-k-(k^2-16)^2)/2] +C2 e^[(-k+(k^2-16)^2)/2]
Qualcuno ha voglia di aiutarmi??? Scusate se ho scritto così ma non mi carica la pagina dei simboli perchè in università la connessione lascia a desiderare :s
Io so che una funzione è limitata in un intervallo se (in parole povere) esiste asintoto orizzontale , mentre il teorema della limitatezza mi dice che una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata ... ma per esempio tan(x) definita in (0,pi/2 ) è continua ma non limitata... quindi il mio problema è che non mi è chiaro il come capire quando una F(x) è limitata e che 'mezzi' usare per farlo.
Il dubbio è nato per questo esercizio:
data y''(x)+k y'(x)+4 y(x) =0 determinare per quali k reali tutte le soluzioni sono limitate in [0,+inf).
io ho trovato le soluzioni al variare di k , ma come vedo se sono limitate nella pratica???
ex. soluzione 1: y(x)=C1 e^[(-k-(k^2-16)^2)/2] +C2 e^[(-k+(k^2-16)^2)/2]
Qualcuno ha voglia di aiutarmi??? Scusate se ho scritto così ma non mi carica la pagina dei simboli perchè in università la connessione lascia a desiderare :s
Risposte
Non si capisce granché con le formule scritte così. Poi occhio quando parli di asintoti orizzontali, quella è una fesseria bella e buona: non solo così facendo escludi tutte le funzioni definite sugli intervalli limitati (che non possono chiaramente avere asintoti), ma inoltre esistono funzioni definite su intervalli limitati che sono limitate e prive di asintoti: esempio ovvio \(f(x)=\sin x\).
Comunque, è vero che una funzione continua su \([0, \infty)\) e con asintoto orizzontale per \(x\to +\infty\) è limitata. Questo è anche il concetto teorico che puoi usare per risolvere l'esercizio.
Infine, sulla funzione tangente il tuo dubbio è presto fugato. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata. Se l'intervallo non è chiuso o non è limitato non si può dire nulla in generale.
Comunque, è vero che una funzione continua su \([0, \infty)\) e con asintoto orizzontale per \(x\to +\infty\) è limitata. Questo è anche il concetto teorico che puoi usare per risolvere l'esercizio.
Infine, sulla funzione tangente il tuo dubbio è presto fugato. Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata. Se l'intervallo non è chiuso o non è limitato non si può dire nulla in generale.
Ciao! innanzitutto grazie per la risposta ! ok ho capito la correzione sull' asintoto riguardando bene la definizione di funzione limitata... se non sbaglio questa asserisce che una funzione è limitata se la sua immagine assume un numero finito di valori, questo non preclude l'esistenza di asintoto che non è condizione necessaria alla limitatezza( scusami le semplificazioni ma il mio cervello cerca di sintetizzare ,ovviamente dimmi se dico scemenze )...
alla fine l' esercizio sono riuscita a svolgerlo (per imporre la limitatezza della soluzione bastava imporre che l'esponente della 'e' fosse <0 (in questo caso l' esponenziale è limitato in [0;inf]....
Grazie ancora!!
alla fine l' esercizio sono riuscita a svolgerlo (per imporre la limitatezza della soluzione bastava imporre che l'esponente della 'e' fosse <0 (in questo caso l' esponenziale è limitato in [0;inf]....
Grazie ancora!!
La soluzione è corretta, la spiegazione no. Una funzione è limitata se esiste una costante \(M\ge 0\) tale che \(\lvert f(x)\rvert\le M\) per ogni \(x\) nel dominio di \(f\). Questo significa che l'immagine di \(f\) è contenuta nell'intervallo limitato (NON finito) \([-M, M]\). In effetti questa è una caratterizzazione della limitatezza, nel senso che una funzione è limitata se e solo se la sua immagine è contenuta in un intervallo limitato.
L'esistenza di un asintoto orizzontale, nel caso in cui la funzione sia definita in un intervallo non limitato, è condizione sufficiente ma NON necessaria alla limitatezza, come mostra il controesempio di prima.
Attenzione a non parlare a vanvera, perché alla fine se si hanno le idee confuse si finisce per fare confusione pure negli esercizi e nei conti.
L'esistenza di un asintoto orizzontale, nel caso in cui la funzione sia definita in un intervallo non limitato, è condizione sufficiente ma NON necessaria alla limitatezza, come mostra il controesempio di prima.
Attenzione a non parlare a vanvera, perché alla fine se si hanno le idee confuse si finisce per fare confusione pure negli esercizi e nei conti.
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