Limitatezza di funzioni di due variabili
Salve a tutti.
Mi è sorto un problema durante l'esame di Analisi Matematica, e cioé il seguente esercizio:
$f(x;y)=log(9-sqrt(x^2+y^2))$
Provare che la funzione non è limitata inferiormente
Cosa so di questo tipo di esercizi:
per "non limitata inferiormente", significa che questa f non deve avere minoranti nel suo dominio D, ossia deve essere che l'estremo inferiore di f sia $-\infty$, cioé $\lim_{(x;y) \to -\infty}log(9-sqrt(x^2+y^2))=-\infty$
Un esercizio simile era stato svolto in classe. La prof aveva fatto la restrizione della funzione (stavolta era da dimostrare che tale funzione non fosse limitata superiormente) all'asse x e ci aveva mostrato che il limite di tale restrizione per $x \to +\infty$ valeva $+\infty$, asserendo che l'estremo sup della f è $>=$ all'estremo sup della restrizione di f.
Io ho ragionato così. Se è giusto quanto detto dalla prof (e direi proprio di si
) deve valere anche che l'estremo inferiore di una f qualsiasi sia $<=$ dell'estremo inferiore della stessa f ma ristretta a uno dei due assi.
Ho quindi ristretto la mia $f(x;y)$ all'asse x (quindi con $y=0$) e ho ottenuto:
$f(x;0)=log(9-x)$
ma ho anche che $\lim_{x \to -\infty}log(9-x)=+\infty$
Stesso risultato si ha con la restrizione all'asse y cioè: $f(0;y)=log(9-y)$.
Salta subito all'occhio che $\lim_{x \to 9}log(9-x)=-\infty$ e che $\lim_{y \to 9}log(9-y)=-\infty$.
Quindi so solo che l'estremo inferiore di $f(x;y)$ è $<=9$.
Come dimostro invece che l'estremo inferiore di questa funzione è $-\infty$, cioé che non è limitata inferiormente??
Grazie a tutti!
Mi è sorto un problema durante l'esame di Analisi Matematica, e cioé il seguente esercizio:
$f(x;y)=log(9-sqrt(x^2+y^2))$
Provare che la funzione non è limitata inferiormente
Cosa so di questo tipo di esercizi:
per "non limitata inferiormente", significa che questa f non deve avere minoranti nel suo dominio D, ossia deve essere che l'estremo inferiore di f sia $-\infty$, cioé $\lim_{(x;y) \to -\infty}log(9-sqrt(x^2+y^2))=-\infty$
Un esercizio simile era stato svolto in classe. La prof aveva fatto la restrizione della funzione (stavolta era da dimostrare che tale funzione non fosse limitata superiormente) all'asse x e ci aveva mostrato che il limite di tale restrizione per $x \to +\infty$ valeva $+\infty$, asserendo che l'estremo sup della f è $>=$ all'estremo sup della restrizione di f.
Io ho ragionato così. Se è giusto quanto detto dalla prof (e direi proprio di si
) deve valere anche che l'estremo inferiore di una f qualsiasi sia $<=$ dell'estremo inferiore della stessa f ma ristretta a uno dei due assi.Ho quindi ristretto la mia $f(x;y)$ all'asse x (quindi con $y=0$) e ho ottenuto:
$f(x;0)=log(9-x)$
ma ho anche che $\lim_{x \to -\infty}log(9-x)=+\infty$
Stesso risultato si ha con la restrizione all'asse y cioè: $f(0;y)=log(9-y)$.
Salta subito all'occhio che $\lim_{x \to 9}log(9-x)=-\infty$ e che $\lim_{y \to 9}log(9-y)=-\infty$.
Quindi so solo che l'estremo inferiore di $f(x;y)$ è $<=9$.
Come dimostro invece che l'estremo inferiore di questa funzione è $-\infty$, cioé che non è limitata inferiormente??
Grazie a tutti!
Risposte
non capisco il limite che hai scritto. l'argomento del logaritmo non può essere negativo, e non è negativo il risultato della radice, dunque, se non ci sono altri "tranelli", il massimo è log(9) e viene assunto in (0,0). invece la funzione non è limitata inferiormente, perché se $x^2+y^2$ tende a $81^-$, allora la funzione tende a $-oo$.
che cosa c'è di "nascosto" nel testo che mi sfugge?
che cosa c'è di "nascosto" nel testo che mi sfugge?
$\lim_((x;y)->-\infty)log(9-\sqrt{x^2+y^2})=-\infty$
Mi spieghi questa cosa? Ti sembra sia nel dominio?
Mi spieghi questa cosa? Ti sembra sia nel dominio?
@K.Lomax: giusto, ho scritto un'eresia.
@ada: Vedi sopra. Grazie, quello che hai scritto mi torna e mi chiarisce il dubbio. Sono io che sono un po' niubbo (in effetti l'esercizio in classe verteva su un caso abbastanza diverso per il dominio della f e per la restrizione operata dalla prof).
Grazie ancora!
@ada: Vedi sopra. Grazie, quello che hai scritto mi torna e mi chiarisce il dubbio. Sono io che sono un po' niubbo (in effetti l'esercizio in classe verteva su un caso abbastanza diverso per il dominio della f e per la restrizione operata dalla prof).
Grazie ancora!
prego!
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