Limitatezza delle soluzioni

[Mrs92]

ho una traccia d'esame che mi dice di trovare l'integrale generale $g(x,c)$ dell'equazione $y' + xy = xsin(x^2)$
e fin qui ci sto....

poi mi chiede di discutere la limitatezza delle soluzioni e l'esistenza del limite $lim_(x->+oo) g(x,c)$ al variare della costante $c$

che dovrei fare?
in che consiste la limitatezza?

[dissonance]

Devi capire per quali valori della costante $c$ la funzione $x \mapsto g(x, c)$ è limitata nel suo insieme di definizione. Aiutati graficamente.

[Mrs92]

quindi in poche parole devo capire per quali valori di $C$ esiste finito il limite dell'integrale generale per $x-> +oo$ ?
non mi basterebbe capirlo dagli autovalori dell'omogenea?
per esempio sapendo che $alpha <0$ (con $alpha$ soluzione dell'omogenea) ottengo $g(x,c)= ce^(alpha x)$ non potrei già dire che la soluzione è limitata?


e in che modo lo capisco graficamente?

[dissonance]

No. In poche parole devi fare uno studio di funzione parametrizzato da $c$ e devi capire da questo quali funzioni sono limitate. Per esempio la funzione $ce^{\alpha x}$ NON è limitata su $RR$ a parte nei casi banali $c=0$ e $alpha=0$. L'unico modo per capirlo è disegnare dei grafici e ragionare su quelli.

[Mrs92]

per fare un esempio, se ho

$y(x,c) = C_1 e^(3x) + (C_2)/e^(x)$

la funzione è limitata per $ C_1 = 0 $ e $AA C_2 in RR$

giusto?

[gugo82]

"Mrs92":per fare un esempio, se ho

$y(x,c) = C_1 e^(3x) + (C_2)/e^(x)$

la funzione è limitata per $ C_1 = 0 $ e $AA C_2 in RR$

giusto?

No...
Infatti, se \(x\in \mathbb{R}\), che succede quando \(x\to -\infty\)?

[Mrs92]

giusto..... non ci avevo pensato....

quindi le soluzioni direi che sono poche
o abbiamo $C_1 = C_2 =0$ oppure abbiamo $alpha = 0$ o se uno dei due $alpha $ è uguale a zero allora l'altro C con $alpha!=0 $ deve essere uguale a zero...