Limitare in un intervallo soluzione di un eq. diff.
Ciao ragazzi posto il mio primo problema. Vorrei sapere come si fa a limitare una soluzione di un'equazione differenziale (nel mio caso di terzo ordine) in un determinato intervallo. Vi faccio vedere l'esercizio:
$y'''(x) + y'(x) + 2y(x) = e^-x$
La soluzione mi risulta essere:
$y(x) = c_1e^-x + e^(x/2)(c_2cos(sqrt(7)x/2) + c_3sin(sqrt(7)x/2)) + (x/4)e^-x $
e l'esercizio mi chiede di trovare tutte le soluzioni limitate nell'intervallo $ (-oo,0] $
Non ho la minima idea di come fare. Ho pensato che se x tende a infinito la soluzione si annulla essendo tutta moltiplicata per un esponente negativo, ma non capisco come trovarle tutte. Qualcuno sa come fare? Grazie
$y'''(x) + y'(x) + 2y(x) = e^-x$
La soluzione mi risulta essere:
$y(x) = c_1e^-x + e^(x/2)(c_2cos(sqrt(7)x/2) + c_3sin(sqrt(7)x/2)) + (x/4)e^-x $
e l'esercizio mi chiede di trovare tutte le soluzioni limitate nell'intervallo $ (-oo,0] $
Non ho la minima idea di come fare. Ho pensato che se x tende a infinito la soluzione si annulla essendo tutta moltiplicata per un esponente negativo, ma non capisco come trovarle tutte. Qualcuno sa come fare? Grazie
Risposte
Veramente, se \(x\to-\infty\), allora \(e^{-x}\to +\infty\).
"Rigel":
Veramente, se \(x\to-\infty\), allora \(e^{-x}\to +\infty\).
ok, ma io devo limitare la soluzione in quell'intervallo, cioè francamente non ho proprio capito il significato di questa domanda. Cioè cosa devo cercare i valori delle costanti, i valori di x o entrambi? Non so proprio da che parte iniziare
Se, per \(x\to -\infty\), la tua soluzione diverge (a \(\pm\infty\)), allora sicuramente non è limitata.
Si ma l'esercizio non mi specifica che x tende a infinito. Cioè sono d'accordo sul fatto che in quel caso non è limitata ma se tende a zero? se tende a un mezzo? cioè io devo trovare tutte le soluzioni limitate in quell'intervallo.
E' una funzione continua su \((-\infty, 0]\), per cui è limitata su ogni sottoinsieme limitato. I problemi li puoi avere solo per \(x\to -\infty\).
Abbi pazienza ma non riesco a capire. Trovare tutte le soluzioni limitate in $ (-oo,0] $ non significa porre la soluzione generale che ho trovato minore di zero? Probabilmente non ho capito la domanda. Cioè non vuole sapere per quali $x$ e costanti la soluzione sia minore di zero? O vuole sapere se in quell'intervallo di valori, cioè nell'intervallo $ (-oo, 0] $ , ci siano soluzioni non limitate, in tal caso solo per x tendente a infinito? Ok, direi che mi sono risposto da solo.. che pirla! Pensa te che mi sono messo a provare a risolvere quella disequazione... eh va be.. Grazie mille per la pazienza!!
Comunque ai fini del completamento dell'esercizio, essendo che la mia soluzione non è limitata per x tendente a infinito cosa devo rispondere?che non esistono soluzioni limitate nell'intervallo $ (-oo,0] $ giusto?
Una funzione \(f: A\to\mathbb{R}\) si dice limitata se esista una costante \(M\geq 0\) tale che \(|f(x)| \leq M\) per ogni \(x\in A\).
ok grazie mille per le spiegazioni!
ragazzi dato che siamo in tema di equazioni differenziali, quand'è che le soluzioni di un'equazione differenziale omogenea sono spazio vettoriale? E come si trova una base di tale spazio?
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