\( \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} \)
Ciao a tutti,
voglio calcolare \( \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} \), \( z \in \mathbb{C} \) senza conoscere il limite notevole.
Come posso fare?
Io ho ragionato così:
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin (x+iy)}{x+iy} \]
Ma qui non so più come fare, perché la \( i \) non è un numero reale.
Chi mi sa aiutare?
voglio calcolare \( \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} \), \( z \in \mathbb{C} \) senza conoscere il limite notevole.
Come posso fare?
Io ho ragionato così:
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin (x+iy)}{x+iy} \]
Ma qui non so più come fare, perché la \( i \) non è un numero reale.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Io proverei con lo sviluppo di Mc Laurin in un intorno dell'origine...
Beh, i limiti notevoli derivano dagli sviluppi di Taylor/McLaurin.
In realtà l'esempio mi interessa perché non riesco a ricondurre il limite ad un limite reale in due variabili, dato che c'è quella \( i \) di mezzo.
In realtà l'esempio mi interessa perché non riesco a ricondurre il limite ad un limite reale in due variabili, dato che c'è quella \( i \) di mezzo.
"Riccardo Desimini":
Beh, i limiti notevoli derivano dagli sviluppi di Taylor/McLaurin.
Ah ok, scusa; non avevo capito che questa via fosse preclusa.
Pensavo che tu non volessi usare i limiti notevoli ma che invece un discorso di carattere più generale [dal quale poi far discendere la formulina del limite notevole] come gli sviluppi di Taylor andasse bene.
Visto che il seno complesso è definito usando la serie di Taylor, non vedo perché tu non possa usare tale metodo.
Ma infatti non è che non si possa, semplicemente vorrei calcolarlo a partire dal passaggio che ho iniziato prima, cioè
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin (x+iy)}{x+iy} =\ \textbf{?} \]
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin (x+iy)}{x+iy} =\ \textbf{?} \]
Il problema, allora, è trovare un'espressione comoda per il seno, in modo da farci i conti.
Le strade sono due: o usi la formula di Eulero e lo sviluppo in serie dell'esponenziale, oppure la relazione \(\sin (x+\imath\ y)=\sin x\ \cosh y +\imath\ \cos x\ \sinh y\).
Ma, ad ogni modo, è un esercizio ozioso.
Le strade sono due: o usi la formula di Eulero e lo sviluppo in serie dell'esponenziale, oppure la relazione \(\sin (x+\imath\ y)=\sin x\ \cosh y +\imath\ \cos x\ \sinh y\).
Ma, ad ogni modo, è un esercizio ozioso.
Ah ecco, quindi una volta che riesco a separare parte reale e parte immaginaria, posso concludere che
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \Re \frac{\sin z}{z} + i \lim_{(x,y) \to (0,0)} \Im \frac{\sin z}{z} \]
Giusto?
\[ \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \Re \frac{\sin z}{z} + i \lim_{(x,y) \to (0,0)} \Im \frac{\sin z}{z} \]
Giusto?
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