$\lim_(||(x,y)||\to \infty) f(x,y)$ minorazione poco chiara..

[21zuclo]

ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo limite a 2 variabili, però non mi è chiara una minorazione. Aiutatemi capire, per favore, ah e se voi aveste agito in maniera differente e più veloce, scrivetelo pure. Grazie in anticipo.

Questo è un esercizio preso da un eserciziario.

Calcolare e vedere se esiste $\lim_(||(x,y)||\to \infty) f(x,y)$, ove $f(x,y)=(\sin(x+y))/(x^4+y^2)$


ho pensato di fare così, arrivo ad un punto in cui la mia soluzione coincide con la soluzione del testo, mi perdo in una minorazione

qui è la norma ad andare a più infinito $||(x,y)||\to \infty$

quindi prendo il valore assoluto della funzione la minoro $|f(x,y)|=|(\sin(x+y))/(x^4+y^2)|\leq (1)/(x^4+y^2)$

ora qui l'eserciziario fa questa minorazione $(1)/(x^4+y^2)\leq (1)/(x^2+y^2-1/4)$

e conclude che $(1)/(x^2+y^2-1/4)\to 0$ per $||(x,y)||\to \infty$

Ecco una domanda perchè ha maggiorato il denominatore con $x^2+y^2-1/4$, dove l'ha preso $-1/4$ ?

pensato al completamento del quadrato..però non so.

[Rigel1]

Discende dal fatto che \(x^4-x^2+1/4 = (x^2-1/2)^2 \geq 0\), e da qui segue
\[
x^4+ y^2 \geq x^2 + y^2 - 1/4.
\]

[21zuclo]

"Rigel":Discende dal fatto che \(x^4-x^2+1/4 = (x^2-1/2)^2 \geq 0\), e da qui segue
\[
x^4+ y^2 \geq x^2 + y^2 - 1/4.
\]

ok, io però non ero arrivato a quella forma, la forma che riesco ad ottenere di $x^4+x^2$ usando il completamento del quadrato è $x^4+x^2=x^4+x^2+1/4-1/4=(x^2-1/2)^2+1/4$

lui invece ottiene solamente $(x^2-1/2)^2$

che formula usa?

[Quinzio]

Se $(x^2+1/2)^2 = x^4-x^2+1/4$

allora $x^4=(x^2-1/2)^2+x^2-1/4 $.

Fin qui tutto ok.

Quindi nella frazione al posto di $x^4$ scrive tutto il resto


$1/(x^4+y^2)=1/((x^2-1/2)^2+x^2-1/4 +y^2)$

Poi siccome $(x^2-1/2)^2$ è sempre positivo (o nullo), se lo si toglie il denominatore diventa più piccolo e quindi la frazione diventa più grande.

[21zuclo]

cavolo grazie