$lim_((x,y)\to (0,0)) f(x,y)$..dubbio maggiorazione denominatore..
Ciao a tutti, mi è capitato questo esercizio, però ho un dubbio sulla maggiorazione che ho fatto al denominatore. Ditemi se è corretta, e se voi aveste agito in maniera diversa con questo limite, scrivetelo pure. Grazie in anticipo.
Calcolare e vedere se esiste il limite $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^3 y^2) /(x^4+y^6) $
ho provato a svolgerlo così
prima ho provato a calcolarlo sugli assi, ma vengono entrambi i limiti 0,
cioè $f(x,0)=0=f(0,y)$ per $(x,y)\to (0,0)$
per cui penso che il limite esista e sia 0
porto la funzione in coordinate polari e ne faccio il modulo, e semplico i $\rho$
$ |f(\rho \cos\theta, \rho \sin \theta)|=|(\rho^5\cos^3\theta \sin^2\theta)/(\rho^4\cos^4\theta+\rho^6 \sin^6 \theta)|=|(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta)| $
ora ed ho qui il dubbio, il denominatore,
maggioro il denominatore in questo modo $ |\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta|\geq \cos^4\theta $
così ottengo che $ |(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta)| \leq |(\rho cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta)|\leq \rho \to 0 $ per $\rho\to 0$
quindi il limite esiste ed è 0.
Ma è corretta la maggiorazione del denominatore?
Calcolare e vedere se esiste il limite $ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^3 y^2) /(x^4+y^6) $
ho provato a svolgerlo così
prima ho provato a calcolarlo sugli assi, ma vengono entrambi i limiti 0,
cioè $f(x,0)=0=f(0,y)$ per $(x,y)\to (0,0)$
per cui penso che il limite esista e sia 0
porto la funzione in coordinate polari e ne faccio il modulo, e semplico i $\rho$
$ |f(\rho \cos\theta, \rho \sin \theta)|=|(\rho^5\cos^3\theta \sin^2\theta)/(\rho^4\cos^4\theta+\rho^6 \sin^6 \theta)|=|(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta)| $
ora ed ho qui il dubbio, il denominatore,
maggioro il denominatore in questo modo $ |\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta|\geq \cos^4\theta $
così ottengo che $ |(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6\theta)| \leq |(\rho cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4\theta)|\leq \rho \to 0 $ per $\rho\to 0$
quindi il limite esiste ed è 0.
Ma è corretta la maggiorazione del denominatore?
Risposte
Fermo restando che il tentativo di fare una maggiorazione è un utile esercizio "di per se", chiediti intanto se ha senso fare una maggiorazione. 
"Quinzio":
Fermo restando che il tentativo di fare una maggiorazione è un utile esercizio "di per se", chiediti intanto se ha senso fare una maggiorazione.
eh?
ho maggiorato il denominatore, perchè così il suo reciproco diventa minore!
avevo $|\cos^4\theta+\rho^2 \sin^6 \theta|$ ed ho detto che è $\geq \cos^4\theta$ che sicuramente è vero a guardare l'espressione.. giusto?
È solo che sono alle prime armi con l'Analisi 2, per cui mi vengono fuori mille dubbi e ho paura di sbagliare!
così ora che ho detto che il denominatore è $\geq cos^4 \theta$ il suo reciproco è $\leq \cos^4\theta$
e poi ho fatto tutto quello $\leq \rho$..
però non so se sia giusto..
fino a qui tutto bene $ |\cos^4 \theta+\rho^2 \sin^6\theta|\geq \cos^4 \theta $
però dopo ti crea problemi poichè
$|(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4 \theta+\rho^2 \sin^6\theta)|\leq |(\rho \cos^3\theta \sin^2 \theta)/(\cos^4\theta)|$, perchè se $\theta= \pi/2$ di scombussola tutto.
però non saprei come fare sinceramente..aspetto altri suggerimenti!..
non è facile sto limite..
però dopo ti crea problemi poichè
$|(\rho \cos^3\theta \sin^2\theta)/(\cos^4 \theta+\rho^2 \sin^6\theta)|\leq |(\rho \cos^3\theta \sin^2 \theta)/(\cos^4\theta)|$, perchè se $\theta= \pi/2$ di scombussola tutto.
però non saprei come fare sinceramente..aspetto altri suggerimenti!..
non è facile sto limite..
Il limite esiste ed è nullo, ma l'ultima maggiorazione che hai fatto è sbagliata.
Un modo secondo me istruttivo (anche se probabilmente non il più rapido) per dimostrarlo è il seguente.
Partiamo dalla disuguaglianza AM-GM che, in una delle sue versioni, dice che
Noi vogliamo maggiorare un prodotto del tipo
\[
|x|^{\alpha} |y|^2
\]
(con \(\alpha > 0\) opportuno, il cui valore sarà specificato fra poco) con qualcosa del tipo \(x^4+y^6\), in modo tale da poter maggiorare la frazione che compare nel limite e, se possibile, avanzare qualche potenza di \(x\) a numeratore.
Da AM-GM abbiamo che, se \(r, s\) sono positivi con \(r+s=1\),
\[
|x|^{\alpha} |y|^2 = (|x|^{\alpha / r})^r (|y|^{2/s})^s \leq r\, |x|^{\alpha / r} + s\, |y|^{2/s}.
\]
A ultimo membro vogliamo che la potenza di \(|y|\) sia \(6\), quindi sceglieremo \(s = 1/3\). Dovendo essere \(r+s=1\), questo implica \(r = 2/3\). Inoltre vogliamo che a ultimo membro la potenza di \(|x|\) sia \(4\), quindi sceglieremo \(\alpha /r = 3\alpha /2 = 4\), cioè \(\alpha = 8/3\).
Riassumendo, con questa scelta dei parametri avremo che
\[
|x|^{8/3} |y|^2 \leq \frac{2}{3} |x|^4 + \frac{1}{3} |y|^6 \leq x^4 + y^6,
\]
da cui si ottiene infine
\[
\left|\frac{x^3y^2}{x^4 y^6} \right| \leq
\left|x^{1/3}\frac{x^{8/3}y^2}{x^4 y^6} \right| \leq |x|^{1/3}.
\]
Un modo secondo me istruttivo (anche se probabilmente non il più rapido) per dimostrarlo è il seguente.
Partiamo dalla disuguaglianza AM-GM che, in una delle sue versioni, dice che
Siano \(a,b, r, s\) numeri reali positivi con \(r+s=1\). Allora
\[
a^r \cdot b^s \leq r\, a + s\, b\,.
\]
Noi vogliamo maggiorare un prodotto del tipo
\[
|x|^{\alpha} |y|^2
\]
(con \(\alpha > 0\) opportuno, il cui valore sarà specificato fra poco) con qualcosa del tipo \(x^4+y^6\), in modo tale da poter maggiorare la frazione che compare nel limite e, se possibile, avanzare qualche potenza di \(x\) a numeratore.
Da AM-GM abbiamo che, se \(r, s\) sono positivi con \(r+s=1\),
\[
|x|^{\alpha} |y|^2 = (|x|^{\alpha / r})^r (|y|^{2/s})^s \leq r\, |x|^{\alpha / r} + s\, |y|^{2/s}.
\]
A ultimo membro vogliamo che la potenza di \(|y|\) sia \(6\), quindi sceglieremo \(s = 1/3\). Dovendo essere \(r+s=1\), questo implica \(r = 2/3\). Inoltre vogliamo che a ultimo membro la potenza di \(|x|\) sia \(4\), quindi sceglieremo \(\alpha /r = 3\alpha /2 = 4\), cioè \(\alpha = 8/3\).
Riassumendo, con questa scelta dei parametri avremo che
\[
|x|^{8/3} |y|^2 \leq \frac{2}{3} |x|^4 + \frac{1}{3} |y|^6 \leq x^4 + y^6,
\]
da cui si ottiene infine
\[
\left|\frac{x^3y^2}{x^4 y^6} \right| \leq
\left|x^{1/3}\frac{x^{8/3}y^2}{x^4 y^6} \right| \leq |x|^{1/3}.
\]
Propongo questa soluzione alternativa:
Pongo
$a=y^2,x^4=b^3$
quindi:
$\frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}$
Abbiamo, tenuto conto che $ 2ab\leqa^2+b^2$:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)\geqab^2$
quindi
\(\displaystyle \frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}\leq \frac{ab^{\frac{9}{4}}}{ab^2}=b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{x}\)
Pongo
$a=y^2,x^4=b^3$
quindi:
$\frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}$
Abbiamo, tenuto conto che $ 2ab\leqa^2+b^2$:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)\geqab^2$
quindi
\(\displaystyle \frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}\leq \frac{ab^{\frac{9}{4}}}{ab^2}=b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{x}\)
"totissimus":
Propongo questa soluzione alternativa:
Pongo
$a=y^2,x^4=b^3$
quindi:
$\frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}$
Abbiamo, tenuto conto che $ 2ab\leqa^2+b^2$:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)\geqab^2$
quindi
\(\displaystyle \frac{x^3y^2}{x^4+y^6}=\frac{ab^{\frac{9}{4}}}{a^3+b^3}\leq \frac{ab^{\frac{9}{4}}}{ab^2}=b^{\frac{1}{4}}=\sqrt[3]{x}\)
wow!
aspettavo a rispondere, perchè la soluzione dell'utente Rigel, avrei aspettato domani, ho fatto esercizi di analisi 2 tutto il giorno.. su serie e successioni di funzionicomunque grazie totissimus!..
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