$ lim_((x,y) -> (-1,1)) sin(xy)/(xy+x^2y^2) $
Buongiorno a tutti!
Ho questo esercizio:
$ lim_((x,y) -> (-1,1)) sin(xy)/(xy+x^2y^2) $
.
Chiede di calcolare o dimostrare che non esiste, prima sul suo dominio naturale, e poi ristretto a $K={(x,y) in R^2 |0
Ho cercato di svolgerlo ma ad un certo punto arrivo ad un dubbio... vi posto quello che ho fatto, spero che ci date un'occhiata per vedere se ho fatto tutto giusto...
Per prima cosa ho effettato una traslazione per farlo diventare un limite che tende a $(0,0)$ e il limite mi è diventato:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) sin((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
Poi sapendo che per $x->0, sinx ~ x$ il limite mi è diventato
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
che facendo le oppurtune semplificazioni alla fine mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(xy+x-y) $
Sule suo dominio naturale ho che se mi restringo a x=0 mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(0y+0-y)= lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-y)=-oo $
Se invece mi restringo a $y=0$ mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x0+x-0)= lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x)=+oo $
Quindi concludo che sul suo dominio naturale il limite non esiste;
ORA vado a vedere su K:
Innanzitutto impongo che $x<0$ e $y>0$ e quindi vado a sostituire tutte le x della funzione con $-|x|$ e tutte le y con $|y|$ ottenendo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-|x||y|-|x|-|y|) =lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|) $
Poi (in virtù del fatto che $x<0$) so che $y<2-|x|$ ottengo:
$lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|) (0,0)) -1/(|x||2-|x||+|x|+|2-|x||) $
$lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||y|+|x|+|y|)>lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||2-|x||+|x|+|2-|x||) $
Ho fatto bene fin ora? come faccio a dimostrare che fa $+oo$?
Ho questo esercizio:
$ lim_((x,y) -> (-1,1)) sin(xy)/(xy+x^2y^2) $
.
Chiede di calcolare o dimostrare che non esiste, prima sul suo dominio naturale, e poi ristretto a $K={(x,y) in R^2 |0
Ho cercato di svolgerlo ma ad un certo punto arrivo ad un dubbio... vi posto quello che ho fatto, spero che ci date un'occhiata per vedere se ho fatto tutto giusto...
Per prima cosa ho effettato una traslazione per farlo diventare un limite che tende a $(0,0)$ e il limite mi è diventato:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) sin((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
Poi sapendo che per $x->0, sinx ~ x$ il limite mi è diventato
$ lim_((x,y) -> (0,0)) ((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
che facendo le oppurtune semplificazioni alla fine mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(xy+x-y) $
Sule suo dominio naturale ho che se mi restringo a x=0 mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(0y+0-y)= lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-y)=-oo $
Se invece mi restringo a $y=0$ mi diventa:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x0+x-0)= lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(x)=+oo $
Quindi concludo che sul suo dominio naturale il limite non esiste;
ORA vado a vedere su K:
Innanzitutto impongo che $x<0$ e $y>0$ e quindi vado a sostituire tutte le x della funzione con $-|x|$ e tutte le y con $|y|$ ottenendo
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-|x||y|-|x|-|y|) =lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|) $
Poi (in virtù del fatto che $x<0$) so che $y<2-|x|$ ottengo:
$lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|)
$lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||y|+|x|+|y|)>lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||2-|x||+|x|+|2-|x||) $
Ho fatto bene fin ora? come faccio a dimostrare che fa $+oo$?
Risposte
Oppure se dicessi che essendo $y>0$
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-|x|0-|x|- 0) > lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|) $
ovvero
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x|) < lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||y|+|x|+|y|) $
e quindi dato che la prima tende a $+oo$ tende a $+oo$ anche la seconda?
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(-|x|0-|x|- 0) > lim_((x,y) -> (0,0)) -1/(|x||y|+|x|+|y|) $
ovvero
$ lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x|) < lim_((x,y) -> (0,0)) 1/(|x||y|+|x|+|y|) $
e quindi dato che la prima tende a $+oo$ tende a $+oo$ anche la seconda?
prova a passare in cordinate polari sostituendo a $x=cos theta +1 $ e a $y=sin theta -1$ quindi avrai il limite per $rho$ che tende a 0....sfrutta un pò di proprietà dei limiti notevoli e dovresti ottenere il risultato
ma quello che ho fatto fin ora è giusto o ho commesso errori?
scusa il limite è per (x,y) che tende a (-1,1)?? perche poi cambi e metti (0,0)??
perchè ho pensato che convenisse fare cosi... ho pensato male?
bè non è che il limite lo si fa tendere come si vuole, così come ci conviene 
il testo ti da (-1,1) non ti dice mica di inventarti 2 punti a caso
il testo ti da (-1,1) non ti dice mica di inventarti 2 punti a caso
No va bè ma io ho fatto una traslazione:
$ lim_((x,y) -> (-1,1)) sin(xy)/(xy+x^2y^2) = lim_((x,y) -> (0,0)) sin((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
Non potevo fare un'operazione del genere?
$ lim_((x,y) -> (-1,1)) sin(xy)/(xy+x^2y^2) = lim_((x,y) -> (0,0)) sin((x-1)(y+1))/((x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)^2) $
Non potevo fare un'operazione del genere?
a così sono d'accordo!!!! scusami mi sono perso il passaggio allora, come daltronde ho scritto io per le cordinate polari, cmq dovresti arrivarci anche con le restrizioni, però ti ripeto secondo me passando in cordinate polari e applicando un limite notevole fai prima.
Forse ho capito dove sta il mio errore...
facendo la traslazione del limite, credo che devo poi andare ad "aggiustare anche il mio insieme $K$
ovvero ottenendo $K'={(x,y)inR^2|0
Ottengo cosi che $y
E quindi il limite fa $+oo$
Giusto?
facendo la traslazione del limite, credo che devo poi andare ad "aggiustare anche il mio insieme $K$
ovvero ottenendo $K'={(x,y)inR^2|0
Ottengo cosi che $y
E quindi il limite fa $+oo$
Giusto?
Il limite proposto in effetti non esiste; ciò che mi sembra si possa dire è che \(|f| \to +\infty\) quando \((x,y)\to (-1,1)\), \((x,y)\in K\).
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