$lim_{x \to +\infty } \frac{int_0^\x |sin (t)|dt }{x}$
Buongiorno,
potreste darmi una dritta per risolvere questo limite?
$lim_{x \to +\infty } \frac{int_0^\x |sin (t)|dt }{x}$
Ho provato con de l'Hopital ma non esce nulla utile ($lim_{x \to +\infty} \frac{|sin(x)|}{1}$) o a sviluppare in serie il seno, ma quel modulo mi dà non pochi problemi.
Qualche suggerimento? Grazie
potreste darmi una dritta per risolvere questo limite?
$lim_{x \to +\infty } \frac{int_0^\x |sin (t)|dt }{x}$
Ho provato con de l'Hopital ma non esce nulla utile ($lim_{x \to +\infty} \frac{|sin(x)|}{1}$) o a sviluppare in serie il seno, ma quel modulo mi dà non pochi problemi.
Qualche suggerimento? Grazie
Risposte
Magari sbaglio, ma mi verrebbe da dire che essendo: $int_0^pi sintdt=2$, se metti: $x=Mpi$ hai:
(avendo indicato con $[M]$ la parte intera di $M$) , e poi col teorema del confronto si fa il resto del lavoro.
$2[M]<=int_0^(Mpi)|sint|dt<=2[M]+2$
(avendo indicato con $[M]$ la parte intera di $M$) , e poi col teorema del confronto si fa il resto del lavoro.
"Palliit":
Magari sbaglio, ma mi verrebbe da dire che essendo: $int_0^pi sintdt=2$, se metti: $x=Mpi$ hai:
$2[M]<=int_0^(Mpi)|sint|dt<=2[M]+2$
(avendo indicato con $[M]$ la parte intera di $M$) , e poi col teorema del confronto si fa il resto del lavoro.
Grazie per lo spunto. Provando a finire l'esercizio:
$2(\frac{x}{pi}-1)<=2[\frac{x}{pi}]<=int_0^(x)|sint|dt<=2[\frac{x}{pi}]+2<=2 (\frac{x}{pi}+1)$
Divido per $x$ che è positiva:
$\frac{2(\frac{x}{pi}-1)}{x}<=\frac{int_0^(x)|sint|dt}{x}<=\frac{2 (\frac{x}{pi}+1)}{x}$
Osservo che:
$lim_{x\to +\infty}\frac{2(\frac{x}{pi}-1)}{x}=lim_{x\to +\infty}\frac{2 (\frac{x}{pi}+1)}{x}=\frac{2}{pi}$
quindi per il metodo del confronto, il limite di partenza risulta $\frac{2}{pi}$
È corretto? Grazie
Risulta $2/pi$ anche a me.
Ok, risolto. Grazie per l'aiuto
Per curiosità, io l'ho risolto in un altro modo (che è essenzialmente uguale a quello di Pallit, comunque); scrivendo
\[
x=N\pi+O(1), \]
siccome il seno è una funzione limitata possiamo spezzare l'integrale come segue:
\[
\frac{1}{x}\int_0^x |\sin t|\, dt = \frac{\int_0^{N\pi} |\sin t|\, dt + O(1)}{N\pi+O(1)} = \frac{N\int_0^\pi \sin t\, dt +O(1)}{N\pi+O(1)}\to \frac{2}{\pi}.\]
\[
x=N\pi+O(1), \]
siccome il seno è una funzione limitata possiamo spezzare l'integrale come segue:
\[
\frac{1}{x}\int_0^x |\sin t|\, dt = \frac{\int_0^{N\pi} |\sin t|\, dt + O(1)}{N\pi+O(1)} = \frac{N\int_0^\pi \sin t\, dt +O(1)}{N\pi+O(1)}\to \frac{2}{\pi}.\]
Io non l'ho risolto, mi sono limitato a questa osservazione:
$f(x)=|sin(x)|$ ha periodo $pi$ e ad ogni periodo l'area sottesa (sempre positiva) è pari a $2$.
Quindi ad ogni periodo il rapporto tra l'area e $x$ è $(2k)/(pik)=2/pi$
Questo porta a pensare che se un limite esiste questo è pari a $2/pi$
Ma esiste il limite? Perché "all'interno" del periodo il rapporto oscilla e non è detto che si possa trovare un valore di $x$ per ogni $epsilon$ tale per cui la differenza tra limite e funzione sia minore di quest'ultimo.
Perciò volevo chiedervi: questo ragionamento può essere sviluppato in modo da raggiungere l'obiettivo (alias dimostrare che il limite è quello) oppure è una strada senza uscita?
Cordialmente, Alex
$f(x)=|sin(x)|$ ha periodo $pi$ e ad ogni periodo l'area sottesa (sempre positiva) è pari a $2$.
Quindi ad ogni periodo il rapporto tra l'area e $x$ è $(2k)/(pik)=2/pi$
Questo porta a pensare che se un limite esiste questo è pari a $2/pi$
Ma esiste il limite? Perché "all'interno" del periodo il rapporto oscilla e non è detto che si possa trovare un valore di $x$ per ogni $epsilon$ tale per cui la differenza tra limite e funzione sia minore di quest'ultimo.
Perciò volevo chiedervi: questo ragionamento può essere sviluppato in modo da raggiungere l'obiettivo (alias dimostrare che il limite è quello) oppure è una strada senza uscita?
Cordialmente, Alex
@axpgn: mi pare che il ragionamento che esponi sia sostanzialmente il mio, a patto di identificare: $[M]=k$.
Se $x=(k+delta)pi$, con $kinNN$ e $0<=delta<1$, allora:
l'ultimo rapporto è certamente compreso tra $0$ e $2/(kpi+deltapi)$, per cui hai:
quando $k to +oo$ entrambe le funzioni minorante e maggiorante tendono a $2/pi$, da cui la conclusione.
Se $x=(k+delta)pi$, con $kinNN$ e $0<=delta<1$, allora:
$(int_0^x|sint|dt)/x=(int_0^(kpi)|sint|dt)/(kpi+deltapi)+(int_0^(deltapi)|sint|dt)/(kpi+deltapi)=(2k)/(kpi+deltapi)+(int_0^(deltapi)|sint|dt)/(kpi+deltapi)$ ;
l'ultimo rapporto è certamente compreso tra $0$ e $2/(kpi+deltapi)$, per cui hai:
$(2k)/(kpi+deltapi)<=(int_0^x|sint|dt)/x<=(2k)/(kpi+deltapi)+2/(kpi+deltapi)$ ;
quando $k to +oo$ entrambe le funzioni minorante e maggiorante tendono a $2/pi$, da cui la conclusione.
Grazie 
Sto studiando analisi e ho letto la discussione avendomi incuriosito molto. Scusate se mi intrometto ma vorrei chiedere a dissonance alcuni chiarimenti perché non ho ben capito
1) come sia uscito l'o grande e poi come abbia fatto ad averlo anche a denominatore.
Grazie per gli aiuti
1) come sia uscito l'o grande e poi come abbia fatto ad averlo anche a denominatore.
Grazie per gli aiuti
Certo, dunque il ragionamento è il seguente. Per ogni \(x\in\mathbb R\), scriviamo
\[\tag{1}
x=[\tfrac x \pi] \pi + R(x), \]
dove \(R\) è una funzione e \([\cdot]\) denota la parte intera. Ora, per semplificare la notazione poniamo
\[
N:=[\tfrac x \pi],\]
e osserviamo che \(|R(x)|\le C\) per una costante \(C>0\) (non è importante, ma penso si possa prendere \(C=\pi\)). Quindi, per definizione di O grande, \(R(x)=O(1)\). In conclusione,
\[
x=N\pi+O(1).\]
Quando \(x\to \infty\) si ha che \(N\to \infty\). È da qui che viene fuori l'O grande a denominatore.
Quanto al numeratore, si tratta di osservare che, usando (1) si ha
\[
\int_0^x \lvert \sin y\rvert\, dy = \int_0^{N\pi}\lvert \sin y\rvert\, dy + \int_{N\pi}^{R(x)}\lvert \sin y\rvert\, dy, \]
e siccome
\[
\left\lvert \int_{N\pi}^{R(x)}\lvert \sin y\rvert\, dy \right\rvert \le C, \]
(anche qui, non è importante, ma credo che si possa prendere \(C=\pi\)) per definizione di O grande si ha che
\[\int_0^x \lvert \sin y\rvert\, dy = \int_0^{N\pi}\lvert \sin y\rvert\, dy + O(1).\]
È da qui che viene fuori l'O grande a numeratore.
\[\tag{1}
x=[\tfrac x \pi] \pi + R(x), \]
dove \(R\) è una funzione e \([\cdot]\) denota la parte intera. Ora, per semplificare la notazione poniamo
\[
N:=[\tfrac x \pi],\]
e osserviamo che \(|R(x)|\le C\) per una costante \(C>0\) (non è importante, ma penso si possa prendere \(C=\pi\)). Quindi, per definizione di O grande, \(R(x)=O(1)\). In conclusione,
\[
x=N\pi+O(1).\]
Quando \(x\to \infty\) si ha che \(N\to \infty\). È da qui che viene fuori l'O grande a denominatore.
Quanto al numeratore, si tratta di osservare che, usando (1) si ha
\[
\int_0^x \lvert \sin y\rvert\, dy = \int_0^{N\pi}\lvert \sin y\rvert\, dy + \int_{N\pi}^{R(x)}\lvert \sin y\rvert\, dy, \]
e siccome
\[
\left\lvert \int_{N\pi}^{R(x)}\lvert \sin y\rvert\, dy \right\rvert \le C, \]
(anche qui, non è importante, ma credo che si possa prendere \(C=\pi\)) per definizione di O grande si ha che
\[\int_0^x \lvert \sin y\rvert\, dy = \int_0^{N\pi}\lvert \sin y\rvert\, dy + O(1).\]
È da qui che viene fuori l'O grande a numeratore.
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