$Lim x->0^+ di 1/x + lnx$

[Titoaguero]

Potete aiutarmi a risolvere il $lim x->0^+$ di $1/x+lnx$. Io ho fatto il minimo comune multiplo e applicato de l'Hopital e mi sono ritrovato $lnx+1$ fino a qui è giusto? Poi ho concluso facendo $ln0+1=$-infinito. Però il risultato del libro è + infinito. Come mai? Ho sbagliato nel procedimento oppure il fatto che ci sia $0^+$ e non $0$ cambia qualcosa?
Grazie in anticipo:)

[Gi81]

Se fai minimo comune multiplo ottieni $lim_{x->0^+} (1+x ln(x))/x$
Per applicare De L'Hopital devi avere una forma indeterminata del tipo $0/0$ oppure $oo/oo$. Qui c'è?

[onlyReferee]

Lascia stare il teorema del marchese (de l'Hopital), in questo caso non ci è utile. Consiglio: poiché hai una somma e la forma indeterminata è del tipo $+\infty -\infty$, anziché eseguire il minimo comune multiplo lascia "spezzati" i due addendi e calcola il limite di ognuno di essi.
Per il secondo (quello con il logaritmo) ti consiglio di provare a ricondurti ad un limite notevole che sicuramente avrai già visto (non occorre alcuna sostituzione ma solo un attimo di fantasia). Il risultato che hanno messo nel libro comunque torna, tranquillo.

[Zero87]

Piccolo hint alternativo.

Dato che $x->0^+$ puoi porre $t=1/x$ - in quel caso $t->+\infty$ - e trovare un limite molto più semplice (ammesso che sai qualcosa di gerarchie degli infiniti).

Ah, dimenticavo - anche se non dovrei dirlo! - $log(1/t)=log(1)-log(t)$ per una proprietà interessante quanto sottovalutata del logaritmo.

@onlyReferee

"onlyReferee":Consiglio: poiché hai una somma e la forma indeterminata è del tipo $ +\infty -\infty $, anziché eseguire il minimo comune multiplo lascia "spezzati" i due addendi e calcola il limite di ognuno di essi.

Non credo sia "tecnicamente" corretto oltre che in questo caso non mi sembra che porti a qualcosa, no?
Poi sono lieto di ricevere smentite: sono 6 anni e mezzo che ho seguito Analisi I.

[onlyReferee]

Per funzionare funziona, come dicevo alla fine mi torna il suo risultato (ossia $+\infty$). Spezzare il limite di una somma come la somma dei limiti è corretto in quanto l'operatore di limite si dimostra essere lineare. Se vuoi posso postare i passaggi comunque (prima però lasciamo ragionare anche l'utente)...

[Zero87]

"onlyReferee":Spezzare il limite di una somma come la somma dei limiti è corretto in quanto l'operatore di limite si dimostra essere lineare. Se vuoi posso postare i passaggi comunque (prima però lasciamo ragionare anche l'utente)...

Lo so, ma ricordavo che
$\lim_(x->...) (f(x)+g(x)) = \lim_(x-> ...) f(x)+ \lim_(x->...) g(x)$
solo quando i due limiti erano finiti, per questo avevo la perplessità. Per il resto sì, lasciamo ragionare l'utente come meglio crede anche perché è questo lo spirito.

[Titoaguero]

Vi ringrazio per la pazienza. Allora ho provato a sostituire $x=1/t$ con t che tende a + infinito. Mi ritrovo con $t+ln(1/t)$ giusto? E visto che t va a + infinito molto piu velocemente di $ln0$ il risultato è + infinito. Mentre per quanto riguarda passaggi algebrici e limiti notevoli non so proprio dove mettergli mano. Se potete illustrarmi qualche passaggio ve ne sarei grato. Scusate se approfitto di voi:)

[onlyReferee]

$\lim_{x \to 0^+}(\frac{1}{x} + \ln x) = \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} + \lim_{x \to 0^+}\ln x$. Fin qua è molto semplice. Ora il primo limite lo si può calcolare direttamente senza farci tante semplificazioni sopra. Il secondo lo si può ricondurre ad un limite notevole. Non è che ce ne siano tanti di limiti notevoli con $x \to 0$. Suggerimento: aggiungi e sottrai all'argomento del logaritmo una quantità (costante) che ti serve proprio per ottenere questo limite notevole. Poi dovrai anche moltiplicare e dividere tutto per un'altra quantità (questa volta non costante) ed il gioco è fatto. Prima di procedere però l'importante è che ti sia chiaro qual è il limite notevole a cui ricondursi...

[Titoaguero]

Se non sbaglio il limite notevole di cui parli è $lim x->0 di ln(x+1)/x$. La mia domanda ora è come faccio a moltiplicare e dividere per una quantità non costante senza alterare il risultato? Cioè posso farlo?

[Gi81]

Guarda, onlyReferee, secondo me stai prendendo un abbaglio.

"onlyReferee":$\lim_{x \to 0^+}(\frac{1}{x} + \ln x) = \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} + \lim_{x \to 0^+}\ln x$

Questo passaggio non si può fare, proprio per il motivo che diceva Zero87.

[onlyReferee]

"Gi8":Guarda, onlyReferee, secondo me stai prendendo un abbaglio.[quote="onlyReferee"]$\lim_{x \to 0^+}(\frac{1}{x} + \ln x) = \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} + \lim_{x \to 0^+}\ln x$

Questo passaggio non si può fare, proprio per il motivo che diceva Zero87.[/quote]
Francamente ho sempre e comunque saputo che l'operatore di limite è sempre lineare e, se invece è come dici te, apprendo davvero qualcosa di nuovo oggi...

[Gi81]

Si può fare a meno che non si arrivi a qualcosa di ancora indeterminato, tipo $+oo-oo$ (come nel nostro caso)

[onlyReferee]

Poco male: il trucco che applico comunque è fattibile anche senza spezzare i limiti, l'avevo fatto solo per una questione di comodità inizialmente ma mi sono accorto solo in un secondo tempo che non è necessario spezzare lo stesso (in tal caso non bisogna dire che non si può proprio fare, come mi avete correttamente fatto notare).
Abbiamo trovare due procedimenti equivalenti per calcolare questo limite insomma.