$lim_(x->-infty) (|x^2-9|e^(-|x+3|))$

[mikelozzo]

come si risolve questo limite??

se io lo porto sotto la forma $lim_(x->-infty) (|x^2-9|1/(e^(|x+3|)))$

poi avrei che $lim_(x->-infty) 1/(e^|x+3|)$ = $1/(+infty)$ = 0 e che $lim_(x->-infty) |x^2-9| = +infty$ per cui incorro in una forma $0(+infty)=???$ che è indeterminata

non lo so fare...... in realtà vedendo il grafico della funzione dovrebbe fare 0 sia il limite per $x->-infty$ che per $x->+infty$..

grazie

[Lord K]

Per certo si sa che:

$lim_(x \to oo) x^n/e^x = 0$

quale che sia $n$ dunque il limite è necessariamente $0$. Per farlo vedere basterebbe la definizione o vedere che da un certo punto in poi $e^x$ è sempre più grande di qualsiasi espressione polinomiale.

[mikelozzo]

si ok...ma nel mio caso, la $x$ di $e^x$ non è uguale alla $x$ di $x^n$...per cui come si procede???

[Feliciano1]

Si procede prima di tutto togliendo il valore assoluto: quando calcoli il limite a meno infinito puoi ragionevolmente assumere che nell'intorno che stai considerando l'espressione $x^2-9$ è positiva quindi coincide col suo valore assoluto e $x+3$ è invece negativo, quindi il suo valore assoluto è -x-3.
A questo punto basta separare la frazione come somma di due termini.
$=(1/(e^(-3)))(((x^2)/(e^(-x)))-(9/(e^-x)))$

Stesso procedimento per x che tende a $+oo$

[mikelozzo]

quindi praticamente per $x->+-infty$ posso considerare il modulo di qualcosa come il valore positivo di quel qualcosa stesso per cui $-|x+3|$ diventerà $-x-3$ e $|x^2-9|$ diventerà semplicemente $x^2-9$...ma cio posso applicarlo sempre?? o a volte il modulo puo coincidere anche con il valore negativo?

e se invece per esempio avevo il limite per $x->x_0$ in quel caso non avevo problemi in quanto un punto nel modulo diventa automaticamente positivo, giusto??


però ora che ci penso, a me il segno meno davanti |x+3| non c'è piu in quanto l'esponente ora è al denominatore quindi se ora ho capito meglio tu intendi che proprio il valore di |x+3| è negativo e non come avevo inizialmente pensato -|x+3|.... mi sto confondendo..

allora perchè nell'intorno considerato cio che è al numeratore è positivo e cio che è al denominatore è negativo??

[Feliciano1]

"mikelozzo":quindi praticamente per $x->+-infty$ posso considerare il modulo di qualcosa come il valore positivo di quel qualcosa stesso per cui $-|x+3|$ diventerà $-x-3$ e $|x^2-9|$ diventerà semplicemente $x^2-9$...ma cio posso applicarlo sempre?? o a volte il modulo puo coincidere anche con il valore negativo?

e se invece per esempio avevo il limite per $x->x_0$ in quel caso non avevo problemi in quanto un punto nel modulo diventa automaticamente positivo, giusto??


però ora che ci penso, a me il segno meno davanti |x+3| non c'è piu in quanto l'esponente ora è al denominatore quindi se ora ho capito meglio tu intendi che proprio il valore di |x+3| è negativo e non come avevo inizialmente pensato -|x+3|.... mi sto confondendo..

allora perchè nell'intorno considerato cio che è al numeratore è positivo e cio che è al denominatore è negativo??

Dunque dunque...
cominciamo col dire che $x->+-infty$ non ha nessun senso! Bisogna semrpe distinguere i due casi.
Nel tuo caso tu hai $x->-infty$ di una quantità in cui compaiono 2 valori assoluti; per gestirli dobbiamo sapere se l'argomento di questi valori assoluti è positivo o negativo. Quindi ora (ma anche in qualsiasi altro esercizio simile) andiamo a vedere $x^2-9$ e $x+3$ come si comportano a $-infty$: il primo tende a $+infty$ mentre il secondo a $-infty$ quindi adesso puoi ragionevolemtne accettare che una cosa che tende a + infinito è sempre positiva (almeno nell'intorno che stai considerando) quindi coincide col suo valore assoluto, mentre una cosa che tende a - infinito è sempre negativa (sempre nell'intorno che stai considerando) quindi per calcolare il suo valore assoluto dobbiamo cambiargli il segno quindi diventa $-x-3$.
E poi dividi la frazione come detto prima.
Posta se non sono stato chiaro.

[mikelozzo]

cominciamo col dire che $x->+-infty$ non ha nessun senso! Bisogna semrpe distinguere i due casi.

si ok...era per velocizzare la cosa...lo so che si vede separatamente (era solo per non scrivere: per $x->-infty$ e per $x->+infty$

cmq detto questo....ok quindi praticamente il ragionamento si attua, se non ho capito male - cosa anche probabile, in questo modo

allora praticamente, noi dobbiamo inanzitutto togliere il modulo; per fare cio dobbiamo andare a vedere cosa succede a questo quando lo consideriamo per $x->-infty$ (o piu infinito a seconda del caso in questione) e vedere se puo essere ragionevolmente considerato in un qualunque intorno, positivo o negativo a seconda di cosa tende x

nel nostro caso avremo che:
* $lim_(x->-infty)(x^2-9) = (-infty)^2-9= +infty-9=+infty$ per cui essendo $+$infinito la quantità in modulo è positiva

* $lim_(x->-infty)(x+3)= -infty+3= -infty$ per cui essendo $-$infinito la quantità in modulo è negativa

per cui avremo che il limite generale di partenza è $lim_(x->-infty) ((x^2-9)/(e^(-x-3))=0$ a seguito degli spezzamenti effettuati su (almeno quelli mi sono chiari )

spero di aver capito bene cosa tu mi hai detto....aspetto conferme

[Feliciano1]

"mikelozzo":

cominciamo col dire che $x->+-infty$ non ha nessun senso! Bisogna semrpe distinguere i due casi.

si ok...era per velocizzare la cosa...lo so che si vede separatamente (era solo per non scrivere: per $x->-infty$ e per $x->+infty$

cmq detto questo....ok quindi praticamente il ragionamento si attua, se non ho capito male - cosa anche probabile, in questo modo

allora praticamente, noi dobbiamo inanzitutto togliere il modulo; per fare cio dobbiamo andare a vedere cosa succede a questo quando lo consideriamo per $x->-infty$ (o piu infinito a seconda del caso in questione) e vedere se puo essere ragionevolmente considerato in un qualunque intorno, positivo o negativo a seconda di cosa tende x

nel nostro caso avremo che:
* $lim_(x->-infty)(x^2-9) = (-infty)^2-9= +infty-9=+infty$ per cui essendo $+$infinito la quantità in modulo è positiva

* $lim_(x->-infty)(x+3)= -infty+3= -infty$ per cui essendo $-$infinito la quantità in modulo è negativa

per cui avremo che il limite generale di partenza è $lim_(x->-infty) ((x^2-9)/(e^(-x-3))=0$ a seguito degli spezzamenti effettuati su (almeno quelli mi sono chiari )


spero di aver capito bene cosa tu mi hai detto....aspetto conferme

Yes

[mikelozzo]

dunque, prima vi ho chiesto il limite perchè sto facendo uno studio di funzione per cercare di risolvere un esercizio che ho postato ieri

(se avete la curiosità di andare a vedere il link è questo https://www.matematicamente.it/forum/f-x ... 36637.html)

ora siccome sto facendo, o meglio sto cercando di fare, lo studio della derivata prima, mi serve sapere una cosa

dunque con la funzione di partenza $f(x)=|x^2-9|e^(-|x+3|)$
ho trovato (spero senza sbagliare) questa derivata prima

f'(x)=$(x^2-9)/|x^2-9|2xe^(-|x+3|) + |x^2-9|e^(-|x+3|)(-(x+3)/|x+3|(1))$

da cui ottengo:

$((x^2-9)(2x))/|x^2-9|e^(-|x+3|)- (|x^2-9|(x+3))/|x+3|e^(-|x+3|)$

$e^(-|x+3|) [((x^2-9)2x)/|x^2-9|-(|x^2-9|(x+3))/|x+3|]$

poi ho posto: $|x^2-9| = |(x+3)(x-3)| = |x+3||x-3|$ e ho fatto il minimo comune multiplo nella parentesi per cui:

$e^(-|x+3|) [((x^2-9)2x-|x^2-9||x-3|(x+3))/|x^2-9|]$

da cui giungo alla forma:

$e^(-|x+3|)[((x^2-9)2x)/|x^2-9|-|x-3|(x+3)]$

ora ponendo $f'(x)>=0$

ottengo che $e^(-|x+3|)>=0$ è vero per ogni x, ma non so risolvere la disequazione

$[((x^2-9)2x)/|x^2-9|-|x-3|(x+3)]>=0$

sono impantanato.....

[mikelozzo]

come posso togliere tutti quei moduli??? non ci riesco proprio.....

[Feliciano1]

Credo che sia più conveniente togliere i valori assoluti nella funzione di partenza e non nella derivata. Cioè data la tua funzione di partenza la studi come una funzione composta. Considera 3 intervalli:

x<-3 $f(x)=(x^2-9)(e^(-(-x-3)))$
-3 x>3 $f(x)=(x^2-9)(e^(-(x+3)))$

e quindi ti vai a fare 3 derivate distinte e separate. Poi dopo vai a vedere cosa succede in -3 e 3.