$lim_(t->0)(f'(t))/f(t)$
Ciao, sono incappato in un problema che mi sembra elementare ma in cui non riesco a orientarmi benissimo.
Supponiamo di avere $f$ da $RR$ in $RR$ di classe $C¹$tale che:
$f(0)=0$;
$f$ non si annulla in un intorno $I$ di $0$;
$f'/f$ ammette limite in 0.
Allora direi che necessariamente questo limite è infinito (si può supporre da subito $f'(0)=0$, altrimenti è banale) perché sennò il seguente problema di Cauchy lineare ammette su $I$ $f$ come soluzione non nulla, il che è assurdo per unicità:
${(x'=(f'/f)x),(x(0)=0):}$ (con $f'/f$ definita in $0$ per continuità)
Ma, sempre che io non abbia fatto errori, come si può dimostrare che sotto queste ipotesi $lim_(t->0)(f'(t))/f(t)$ è infinito senza ricorrere alle equazioni differenziali, cosa che mi sembra alquanto innaturale? Ho provato a fare qualche giochino con il doppio limite ma non sono riuscito a cavarne fuori niente.
Grazie!
Supponiamo di avere $f$ da $RR$ in $RR$ di classe $C¹$tale che:
$f(0)=0$;
$f$ non si annulla in un intorno $I$ di $0$;
$f'/f$ ammette limite in 0.
Allora direi che necessariamente questo limite è infinito (si può supporre da subito $f'(0)=0$, altrimenti è banale) perché sennò il seguente problema di Cauchy lineare ammette su $I$ $f$ come soluzione non nulla, il che è assurdo per unicità:
${(x'=(f'/f)x),(x(0)=0):}$ (con $f'/f$ definita in $0$ per continuità)
Ma, sempre che io non abbia fatto errori, come si può dimostrare che sotto queste ipotesi $lim_(t->0)(f'(t))/f(t)$ è infinito senza ricorrere alle equazioni differenziali, cosa che mi sembra alquanto innaturale? Ho provato a fare qualche giochino con il doppio limite ma non sono riuscito a cavarne fuori niente.
Grazie!
Risposte
Butto lì un'idea, ma nulla più.
Forse basta giocare col fatto che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \ln |f(t)|\Big] =\frac{f^\prime (t)}{f(t)}
\]
e che in \(0\) la funzione \(\ln |f(t)|\) non può essere derivabile...
Forse basta giocare col fatto che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \ln |f(t)|\Big] =\frac{f^\prime (t)}{f(t)}
\]
e che in \(0\) la funzione \(\ln |f(t)|\) non può essere derivabile...
edit: cancello il mio intervento perchè profondamente sbagliato
@Gi8: Stai dicendo che ogni funzione \(C^1\) è identicamente nulla intorno ad ogni suo zero?
Beh, non mi pare: ad esempio \(f(x)=x^2\)...
Ovviamente yellow voleva scrivere che \(f\) non si annulla in \(I\setminus \{0\}\).
Beh, non mi pare: ad esempio \(f(x)=x^2\)...
Ovviamente yellow voleva scrivere che \(f\) non si annulla in \(I\setminus \{0\}\).
Ho scritto proprio una cavolata. Pardon
Meglio non postare sul forum dopo una certa ora
Meglio non postare sul forum dopo una certa ora
Sì, intendevo che $f$ non si annulla nell'intorno bucato, scusate. Posso correggerlo, ma poi la seauenza di post ha ancora meno senso 
.
Comunque:
Sì, mi sembra funzioni:
$lim_(t->0) (ln|f(t)|)=-oo$ e dunque la derivata non ammette limite finito (per Lagrange, volendo).
Carino. Non che sia molto più diretto però! Anzi mi sembra che essenzialmente sia lo stesso motivo per cui un'equazione differenziale lineare ammette un'unica soluzione: lì si usa il fatto che l'esponenziale non si annulla mai, qui il fatto che il logaritmo non è definito in $0$. In entrambi le proprietà "magiche" della derivata di queste funzioni.
Spiego meglio da dove nasce la mia domanda. Stavo cercando di capire perché "moralmente" non può esistere una funzione $a$ continua tale che l'equazione differenziale $x'=ax$ ammetta una soluzione che si annulla in un punto ma non ovunque. Quindi queste dimostrazioni che utilizzano proprietà di funzioni non inerenti al problema soddisfano solo in parte il mio desiderio
.
Cercavo più che altro qualche trucchetto per cui:
$lim_(t->0)(f'(t))/f(t)=lim_(t->0)lim_(h->0)(f(t+h)-f(t))/(hf(t))=lim_(h->0)lim_(t->0)(f(t+h)-f(t))/(hf(t))=...$qualcosa di infinito.
Non ci si riesce dici?
.Comunque:
"gugo82":
Butto lì un'idea, ma nulla più.
Forse basta giocare col fatto che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \ln |f(t)|\Big] =\frac{f^\prime (t)}{f(t)}
\]
e che in \(0\) la funzione \(\ln |f(t)|\) non può essere derivabile...
Sì, mi sembra funzioni:
$lim_(t->0) (ln|f(t)|)=-oo$ e dunque la derivata non ammette limite finito (per Lagrange, volendo).
Carino. Non che sia molto più diretto però! Anzi mi sembra che essenzialmente sia lo stesso motivo per cui un'equazione differenziale lineare ammette un'unica soluzione: lì si usa il fatto che l'esponenziale non si annulla mai, qui il fatto che il logaritmo non è definito in $0$. In entrambi le proprietà "magiche" della derivata di queste funzioni.
Spiego meglio da dove nasce la mia domanda. Stavo cercando di capire perché "moralmente" non può esistere una funzione $a$ continua tale che l'equazione differenziale $x'=ax$ ammetta una soluzione che si annulla in un punto ma non ovunque. Quindi queste dimostrazioni che utilizzano proprietà di funzioni non inerenti al problema soddisfano solo in parte il mio desiderio
. Cercavo più che altro qualche trucchetto per cui:
$lim_(t->0)(f'(t))/f(t)=lim_(t->0)lim_(h->0)(f(t+h)-f(t))/(hf(t))=lim_(h->0)lim_(t->0)(f(t+h)-f(t))/(hf(t))=...$qualcosa di infinito.
Non ci si riesce dici?
A parte che, per prima cosa, dovresti far vedere che effettivamente puoi scambiare i limiti (cosa che non è vera in generale, prova a fare il limite per $(x,y)\to(0,0)$ di $x/y$ prima in un ordine e poi in un altro), forse potresti scrivere quanto segue:
$\lim_{h\to 0} \lim_{t\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(t+h)-f(t)}{t}\cdot \frac{t}{f(t)}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{f'(h)}/{f'(0)}$
e questa cosa almeno così su due piedi sembra divergere, dal momento che dovrebbe coincidere con il $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}$ ($f'$ è continua visto che $f\in C^1$). Ma ripeto: forse puoi farlo e, soprattutto, prima dovresti verificare di poter scambiare effettivamente i limiti (e che tu possa farlo credo sia possibile).
$\lim_{h\to 0} \lim_{t\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(t+h)-f(t)}{t}\cdot \frac{t}{f(t)}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{f'(h)}/{f'(0)}$
e questa cosa almeno così su due piedi sembra divergere, dal momento che dovrebbe coincidere con il $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}$ ($f'$ è continua visto che $f\in C^1$). Ma ripeto: forse puoi farlo e, soprattutto, prima dovresti verificare di poter scambiare effettivamente i limiti (e che tu possa farlo credo sia possibile).
Ahah sì, mi sarei interrogato sulla liceità dello scambio solo dopo aver ottenuto il risultato! Una parte di me ha pensato "quel limite deve esistere e quindi forse è indifferente farlo nei due versi", ma questa è chiaramente una cavolata.
Comunque cercavo proprio qualcosa del genere, anche se appunto c'è ancora da lavorarci un po', anche perché scrivere esplicitamente $f'(0)$ al denominatore è vietato nel caso in cui questo sia uguale a $0$ (che è l'unico non banale).
Grazie mille, ci rifletterò!
Comunque cercavo proprio qualcosa del genere, anche se appunto c'è ancora da lavorarci un po', anche perché scrivere esplicitamente $f'(0)$ al denominatore è vietato nel caso in cui questo sia uguale a $0$ (che è l'unico non banale).
Grazie mille, ci rifletterò!
Stavo pensando ad un ragionamento "spiccio" (andrebbe formalizzato meglio): sotto quelle ipotesi $f'(t)=k t^{\alpha+1}+\ldots$, con $\alpha>0$ (supponendo $f(0)=f'(0)=0$). Ora, se consideriamo la funzione integrale $f(t)=\int_0^t f'(s)\ ds=\frac{k}{\alpha+2} t^{\alpha+2}+\ldots$ dove in entrambi i casi i termini che seguono hanno ordine di infinitesimo più basso (potenza maggiore di $\alpha+1$ e $\alpha+2$ rispettivamente). Pertanto ${f'(t)}/{f(t)}\sim (a+2)/t$ da cui la divergenza.
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