Lim sup VS lim

[thedarkhero]

Non ho capito la differenza tra lim f(x) e lim sup f(x)...mi aiutate?

[_Tipper]

Se $\{a_n}_{n \in \mathbb{N}}$ è una successione, al variare di $k \in \mathbb{N}$ si pone

$m_k = "inf"_{n \ge k} a_n$

$M_k = "sup"_{n \ge k} a_n$

È ovvio che $m_k$ è una successione monotòna non descrescente (dato che si parla di estremo inferiore, all'aumentare di $k$ non posso trovare valori più piccoli di quelli già visti), così come $M_k$ è una successione monotòna non crescente (per ovvi motivi). Dato che $m_k$ e $M_k$ sono monotòne ammettono limite. Siano

$m = \lim_{k \to +\infty} m_k$

e

$M = \lim_{k \to +\infty} M_k$

allora si pone per definizione

$m = "liminf"_{n \to +\infty} a_n$

e

$M = "limsup"_{n \to +\infty} a_n$

Nel caso in cui $m = M$ la successione $a_n$ ammette limite e vale $\lim_{n \to +\infty} a_n = M = m$. Dunque, mentre non è detto che una successione ammetta limite, in generale i limiti inferiori e superiori esistono sempre.

Ad esempio la successione $\{\sin(n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ non ammette limite, il limite superiore è $1$ mentre quello inferiore è $-1$.

Nel caso di una funzione reale di variabile reale $f: A \subseteq R \to \mathbb{R}$ (con $A$ superiormente illimitato) la questione è analoga, basta definire le successione $m_k$ e $M_k$ come

$m_k = "inf"_{x \ge k} f(x)$

$M_k = "sup"_{x \ge k} f(x)$

e porre

$"liminf"_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{k \to +\infty} m_k$

$"limsup"_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{k \to +\infty} M_k$

[Fioravante Patrone1]

Come esempio puoi prendere: $(-1)^n$ come successione. Non ha limite, ma il massimo limite è 1 e il minimo limite è -1

Come funzione, $\sin\ x$. Stesse identiche cose.