Lim sen x che tende a infinito non esiste..dimostrazione!!
ciao a tutti! oggi la mia prof di calcolo ha dimostrato, nell'ambito delle successioni, che il limite di sen n con n che tende ad infinito non esiste. il discorso che ha fatto lei è il seguente:
abbiamo una successione an=(2 pigreco n) che sappiamo essere divergente e
bn=(pigreco/2+2 pigreco n) anche essa sappiamo essere divergente. se tuttavia calcoliamo il limite per n che tende ad infinito di sen an e di sen bn , il primo tenderà a 0 e il secondo a 1...
ma, siccome è impossibole che uno stesso limite ammetta due risultati diversi, allora sen n non esiste...
perdonate l'incomprensibilità di cio che è scritto ma, come ho detto, non sono parole mie.. non riesco proprio a capire quale sia il filo logico di tale dimostrazione per cui chiedo a voi di spiegarmelo...
grazie!
abbiamo una successione an=(2 pigreco n) che sappiamo essere divergente e
bn=(pigreco/2+2 pigreco n) anche essa sappiamo essere divergente. se tuttavia calcoliamo il limite per n che tende ad infinito di sen an e di sen bn , il primo tenderà a 0 e il secondo a 1...
ma, siccome è impossibole che uno stesso limite ammetta due risultati diversi, allora sen n non esiste...
perdonate l'incomprensibilità di cio che è scritto ma, come ho detto, non sono parole mie.. non riesco proprio a capire quale sia il filo logico di tale dimostrazione per cui chiedo a voi di spiegarmelo...
grazie!
Risposte
la tua prof intendeva dire che avendo trovato due sottosuccessioni che tendono a limiti diversi allora la successione di partenza non può avere limite.
questo fatto è del tutto ovvio se da una successione riesco a estrarre due sottosuccessioni che ammettono limite diverso allora la successione di partenza non ammette limite.
questo fatto è del tutto ovvio se da una successione riesco a estrarre due sottosuccessioni che ammettono limite diverso allora la successione di partenza non ammette limite.
ok..fino a qua ci sono...quello che non capisco è: perchè è possibile calolare limiti che presentano la funzione sen a con a tendente ad infinito, se abbiamo appena dimostrato che non esiste?in piu stiamo dimostrando l'inesistenza di un qualcosa servendoci di essa stessa...
non riesco a visualizzare il quadro generale, purtroppo....
non riesco a visualizzare il quadro generale, purtroppo....
No, tu non sai come si comporta sen(n).
Ma sai molto bene come si comportano le altre due successioni, sono costanti di valori 0,1.
A questo punto le successione a e b sono ottenute dalla prima scegliendo indici particolari negli interi, i.e. sono due sottosuccessioni.
Se una successione ha limite l, allora ogni sua sottosuccessione deve avere limite l. Abbiamo trovato due sottosuccessioni che hanno limite diverso, i.e. la successione sen(n) è irregolare.
Ma sai molto bene come si comportano le altre due successioni, sono costanti di valori 0,1.
A questo punto le successione a e b sono ottenute dalla prima scegliendo indici particolari negli interi, i.e. sono due sottosuccessioni.
Se una successione ha limite l, allora ogni sua sottosuccessione deve avere limite l. Abbiamo trovato due sottosuccessioni che hanno limite diverso, i.e. la successione sen(n) è irregolare.
quindi se è irregolare non ammette limite ^__^ perfetto! adesso ho capito!grazie mille!!! 
Per definizione, una successione è irregolare se non ammette limite.
I.e. la classe limite (insieme dei limiti dalle sottosuccessioni) non ha cardinalità 1.
Infatti la classe limite di sen(n) è [-1,1].
I.e. la classe limite (insieme dei limiti dalle sottosuccessioni) non ha cardinalità 1.
Infatti la classe limite di sen(n) è [-1,1].
Ma sbaglio o quella scritta non è in realtà una sottosuccessione?
Cioè, mi spiego... non dovrebbe essere una "selezione di indici"?
Quando prendo $2\pin$, non si tratta di sottosuccessione perchè non
vado a "selezionare" particolari Numeri Naturali...
Cioè, mi spiego... non dovrebbe essere una "selezione di indici"?
Quando prendo $2\pin$, non si tratta di sottosuccessione perchè non
vado a "selezionare" particolari Numeri Naturali...
"Zaphod Beeblebrox":
Ma sbaglio o quella scritta non è in realtà una sottosuccessione?
Cioè, mi spiego... non dovrebbe essere una "selezione di indici"?
Quando prendo $2\pin$, non si tratta di sottosuccessione perchè non
vado a "selezionare" particolari Numeri Naturali...
$2\pin$ dipende da n. Per cui, essendo $2\pi$ un intero positivo, dovrebbe esserlo anche $2\pin$. Io credo sia così...
Sul fatto che \(2\pi\) sia un intero positivo mi permetto di sollevare qualche dubbio...
Ho trovato una dimostrazione interessante, vagando sul web...
partiamo da 2 relazioni (dimostrabili, con un pò di conti tranquilli, con formule di addizione
del seno e coseno, e con quelle di duplicazione...), date da:
\(\displaystyle sin(n+2)-sin(n) = sin(2)cos(n) \)
\(\displaystyle cos(n+2)-cos(n) = -sin(2)sin(n) \)
Ora, supponiamo per assurdo che \(\displaystyle sin(n) \) abbia limite, quindi che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }sin(n)=L \).
Allora, facendo il limite della prima delle due relazioni, avremmo:
\(\displaystyle L-L = sin(2) \lim_{n \to \infty }cos(n) \) e quindi \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }cos(n)=0 \)
e di conseguenza, nella seconda:
\(\displaystyle 0-0 = -sin(2) \lim_{n \to \infty }sin(n) \) e quindi \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }sin(n)=0 \)
Ma questo non può essere, perchè altrimenti, usando la relazione fondamentale \(\displaystyle sin^2(x)+cos^2(x)=1 \)
e facendone il limite, avrei:
\(\displaystyle 1=\lim_{n \to \infty }sin^2(n)+\lim_{n \to \infty }cos^2(n) = 0+0=0 \)
che effettivamente è un bell'assurdo!!
partiamo da 2 relazioni (dimostrabili, con un pò di conti tranquilli, con formule di addizione
del seno e coseno, e con quelle di duplicazione...), date da:
\(\displaystyle sin(n+2)-sin(n) = sin(2)cos(n) \)
\(\displaystyle cos(n+2)-cos(n) = -sin(2)sin(n) \)
Ora, supponiamo per assurdo che \(\displaystyle sin(n) \) abbia limite, quindi che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }sin(n)=L \).
Allora, facendo il limite della prima delle due relazioni, avremmo:
\(\displaystyle L-L = sin(2) \lim_{n \to \infty }cos(n) \) e quindi \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }cos(n)=0 \)
e di conseguenza, nella seconda:
\(\displaystyle 0-0 = -sin(2) \lim_{n \to \infty }sin(n) \) e quindi \(\displaystyle \lim_{n \to \infty }sin(n)=0 \)
Ma questo non può essere, perchè altrimenti, usando la relazione fondamentale \(\displaystyle sin^2(x)+cos^2(x)=1 \)
e facendone il limite, avrei:
\(\displaystyle 1=\lim_{n \to \infty }sin^2(n)+\lim_{n \to \infty }cos^2(n) = 0+0=0 \)
che effettivamente è un bell'assurdo!!
"Zaphod Beeblebrox":
\(\displaystyle sin(n+2)-sin(n) = sin(2)cos(n) \)
\(\displaystyle cos(n+2)-cos(n) = -sin(2)sin(n) \)
Come si dimostrano queste due relazioni?
\(\displaystyle sin(n+2)-sin(n)= \)
\(\displaystyle sin(n+1)cos(1)+cos(n+1)sin(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle (sin(n)cos(1)+cos(n)sin(1))cos(1)+(cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1))sin(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle sin(n)cos^2(1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle sin(n)(cos^2(1)-1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
\(\displaystyle sin(n)sin^2(1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
\(\displaystyle 2cos(n)sin(1)cos(1)= \)
\(\displaystyle cos(n)sin(2) \)
e similmente col secondo.... sono solo formule di addizione e duplicazione
\(\displaystyle sin(n+1)cos(1)+cos(n+1)sin(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle (sin(n)cos(1)+cos(n)sin(1))cos(1)+(cos(n)cos(1)-sin(n)sin(1))sin(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle sin(n)cos^2(1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)-sin(n)= \)
\(\displaystyle sin(n)(cos^2(1)-1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
\(\displaystyle sin(n)sin^2(1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
\(\displaystyle 2cos(n)sin(1)cos(1)= \)
\(\displaystyle cos(n)sin(2) \)
e similmente col secondo.... sono solo formule di addizione e duplicazione
"Zaphod Beeblebrox":
\(\displaystyle sin(n)(cos^2(1)-1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
\(\displaystyle sin(n)sin^2(1)+2cos(n)sin(1)cos(1)-sin(n)sin^2(1)= \)
Ma \(\cos^2 1 - 1 = - \sin^2 1\)...
Grandissimo...
infatti non mi tornavano i conti...
viene \(\displaystyle sin(n+2)-sin(n)=2sin(1)cos(n+1) \)
che non cambia la sostanza dei conti fatti dopo
infatti non mi tornavano i conti...
viene \(\displaystyle sin(n+2)-sin(n)=2sin(1)cos(n+1) \)
che non cambia la sostanza dei conti fatti dopo
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