$lim _ (n->+infty) (n+1/n)^(1/n) $
Mi date uno spunto?
Pensavo:
$= lim _(n->+infty) ((n^2 + 1)/n)^(1/n) =$ per $n-> (+infty) $ , $ n^2 +1$ si può considerare come $ n^2$ ed allora :
$= lim _(n->+infty) (n)^(1/n) =$
Ora pero' abbiamo $infty^0$
ed io non ho più cartucce......
Pensavo:
$= lim _(n->+infty) ((n^2 + 1)/n)^(1/n) =$ per $n-> (+infty) $ , $ n^2 +1$ si può considerare come $ n^2$ ed allora :
$= lim _(n->+infty) (n)^(1/n) =$
Ora pero' abbiamo $infty^0$
ed io non ho più cartucce......
Risposte
E' banale... Scrivi $e^(1/n log(n+1/n)$ e praticamente hai fatto.
Ovviamente la tua posizione non fa cambiare niente ho la stessa cosa scritta in modo diverso:
dopo il :
$ log (n+1/n) $ va a $+ infty$ ed $ e^0$ vale $1$ , per cui il limite è uguale a :
$+infty$
Va bene?
dopo il :
$ log (n+1/n) $ va a $+ infty$ ed $ e^0$ vale $1$ , per cui il limite è uguale a :
$+infty$
Va bene?
Una volta che sei a $e^(1/n log(n+1/n)$ studiati TUTTO l'esponente in termini di gerarchia di infiniti..
Secondo te ho scritto la successione in quel modo per farmi bello, o forse qualche motivo ci sarà???????? 
$log(n+1/n) = log(n(1+1/n^2)) = log n + log(1+1/n^2) = logn + 1/n^2 + o(1/n^2)$ per $n->+oo$, ergo
$log(n+1/n)$ va all'infinito come $log n$, quindi il limite di $e^(1/n log(n+1/n))$ è uguale a ... ?
$log(n+1/n) = log(n(1+1/n^2)) = log n + log(1+1/n^2) = logn + 1/n^2 + o(1/n^2)$ per $n->+oo$, ergo
$log(n+1/n)$ va all'infinito come $log n$, quindi il limite di $e^(1/n log(n+1/n))$ è uguale a ... ?
Ma questa è la prima cosa che ho detto:
parlare di $ lim _(x->+infty) log (1+1/n) $ o parlare di $ lim _(x->+infty) log n $ è la stessa cosa in quanto all' $infty$ , $1/n$ è insignificante.
Dopo di che cosa abbiamo?
Abbiamo :
$ lim_(n->+infty) e^((1/n)*logn) $
parlare di $ lim _(x->+infty) log (1+1/n) $ o parlare di $ lim _(x->+infty) log n $ è la stessa cosa in quanto all' $infty$ , $1/n$ è insignificante.
Dopo di che cosa abbiamo?
Abbiamo :
$ lim_(n->+infty) e^((1/n)*logn) $
e quanto fa???????????????????
Voglio vedere un NUMERO! 
Sono in difficoltà a dirlo perchè ho questa situazione:
$e^(0*infty)$
$e^(0*infty)$
Finalmente ci sono arrivato (dai ..dai ..anche le sorbe maturano......)
$ lim_(n->+infty) e^(1/n)*log n = $
$ lim_(n->+infty) e^((log n)/n) = $
$ lim_(n->+infty) e^0 $ $= 1$
meno male.....che figura.....
Scusatemi e sopportatemi se potete.....
$ lim_(n->+infty) e^(1/n)*log n = $
$ lim_(n->+infty) e^((log n)/n) = $
$ lim_(n->+infty) e^0 $ $= 1$
meno male.....che figura.....
Scusatemi e sopportatemi se potete.....
Meno male... 
"ANTONELLI ":
Finalmente ci sono arrivato (dai ..dai ..anche le sorbe maturano......)
$ lim_(n->+infty) e^((log n)/n) = $
$ lim_(n->+infty) e^0 = 1$
Qui, a rigore, avresti dovuto scrivere in questo modo:
$ lim_(n->+infty) e^((log n)/n) = e^(lim_(n->+infty) (logn)/n) = e^0 = 1
Molto bene. Grazie.
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