Lim inf e lim sup
Data una successione reale a(n) dimostrare che:
$ INF {a(n): n in NN } <= lim_(n -> + oo )INF a(n) $
Se a(n) è limitata inferiormente in un intorno di $+oo$ allora $lim_(n -> + oo )INF a(n) = lim_(M -> + oo ) l(M) > - oo > INF {a(n): n in NN } $
Mica può andar bene?
$ INF {a(n): n in NN } <= lim_(n -> + oo )INF a(n) $
Se a(n) è limitata inferiormente in un intorno di $+oo$ allora $lim_(n -> + oo )INF a(n) = lim_(M -> + oo ) l(M) > - oo > INF {a(n): n in NN } $
Mica può andar bene?
Risposte
No.
1) Nessuna ipotesi ti dice che la tua successione sia limitata inferiormente.
2) Anche se avessi questa ipotesi, ciò non giustifica l'ultima disuguaglianza: $-\infty > INF {a(n): n \in NN }$ (che anzi è sbagliata concettualmente, come fa $-\infty$ ad essere strettamente maggiore di un numero in $RR^{\text{*}}$? Poteva essere vera al massimo con il $\geq$ ma non lo è nemmeno così.)
Per l'esercizio, devi usare soltanto la definizione di INF di un insieme, di minorante definitivo e di liminf di una successione.
1) Nessuna ipotesi ti dice che la tua successione sia limitata inferiormente.
2) Anche se avessi questa ipotesi, ciò non giustifica l'ultima disuguaglianza: $-\infty > INF {a(n): n \in NN }$ (che anzi è sbagliata concettualmente, come fa $-\infty$ ad essere strettamente maggiore di un numero in $RR^{\text{*}}$? Poteva essere vera al massimo con il $\geq$ ma non lo è nemmeno così.)
Per l'esercizio, devi usare soltanto la definizione di INF di un insieme, di minorante definitivo e di liminf di una successione.
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