Liceità della derivata logaritmica
Definiamo (per esempio wikipedia) la derivata logaritmica di una funzione qualsiasi $f(z)$ come $\frac{f'(z)}{f(z)}$.
In parole povere, definizione a parte, per avere la derivata logaritmica di una $f(z)$ olomorfa, prima si prende $log(f(z))$ e poi lo si deriva ottenendo $\frac{f'(z)}{f(z)}$, da cui il nome "derivata logaritmica".
Scartabellando dozzine di testi di analisi complessa, scopro che la derivata logaritmica è un procedimento molto utilizzato anche perché consente di trattare agevolmente prodotti e produttorie (sfruttando proprio le proprietà del logaritmo di "ridurre il prodotto in somma").
Tuttavia, all'orecchio, mi torna il fatto che il logaritmo complesso non è come quello reale: tanto per fare un esempio non è iniettivo (si parla di rami regolari).
Volevo dimostrare che l'operazione di derivata logaritmica è lecita, cioè che è ben posta, cioè... spero che si è capito.
La mia dimostrazione è la seguente.
Vediamo di fare un esempio. Partiamo dall'uguaglianza
$f(z)=g(z)$,
nel quale $f(z)$ e $g(z)$ sono due funzioni olomorfe di variabile complessa uguali per definizione.
Se facciamo il logaritmo di entrambi i membro otteniamo
$log(f(z))=log(g(z))$
che non è più un'uguaglianza proprio a causa dei differenti rami regolari del logaritmo. Il logaritmo è quello complesso (qualcuno scrive $lg$ nel caso di logaritmo complesso). Con una forzatura potremmo dire che sono uguali a meno di multipli di $2i\pi$ o cose simili che - anche se comunemente utilizzate - sono un po' troppo semplicistiche. Magari si poteva scrivere
$log(f(z))+2k\pi i=log(g(z))+ 2h\pi i$,
che, secondo me, è una scrittura più corretta ($h,k\in \ZZ$) anche se, come detto, sono infinite uguaglianze che valgono a seconda dei valori che si danno a $h$ o $k$ a seconda del ramo del logaritmo che si sceglie in entrambi i membri.
Se ora deriviamo, otteniamo
$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{g'(z)}{g(z)}$,
poiché i vari $2kpi i$ e $2h\pi i$ sono pur sempre delle costanti e, derivando, se ne vanno...
Ora, in partenza sappiamo che $f(z)=g(z)$ quindi la relazione ottenuta è ancora un'uguaglianza e quindi la derivata logaritmica è lecita perché da un'uguaglianza me ne dà un'altra.
Per le funzioni di variabile reale tutti questi problemi non ci sono perché il logaritmo reale è iniettivo.
... Volevo sapere se è la dimostrazione è giusta o sbagliata o se devo applicare anche a me questo consiglio
.
In parole povere, definizione a parte, per avere la derivata logaritmica di una $f(z)$ olomorfa, prima si prende $log(f(z))$ e poi lo si deriva ottenendo $\frac{f'(z)}{f(z)}$, da cui il nome "derivata logaritmica".
Scartabellando dozzine di testi di analisi complessa, scopro che la derivata logaritmica è un procedimento molto utilizzato anche perché consente di trattare agevolmente prodotti e produttorie (sfruttando proprio le proprietà del logaritmo di "ridurre il prodotto in somma").
Tuttavia, all'orecchio, mi torna il fatto che il logaritmo complesso non è come quello reale: tanto per fare un esempio non è iniettivo (si parla di rami regolari).
Volevo dimostrare che l'operazione di derivata logaritmica è lecita, cioè che è ben posta, cioè... spero che si è capito.
La mia dimostrazione è la seguente.
Vediamo di fare un esempio. Partiamo dall'uguaglianza
$f(z)=g(z)$,
nel quale $f(z)$ e $g(z)$ sono due funzioni olomorfe di variabile complessa uguali per definizione.
Se facciamo il logaritmo di entrambi i membro otteniamo
$log(f(z))=log(g(z))$
che non è più un'uguaglianza proprio a causa dei differenti rami regolari del logaritmo. Il logaritmo è quello complesso (qualcuno scrive $lg$ nel caso di logaritmo complesso). Con una forzatura potremmo dire che sono uguali a meno di multipli di $2i\pi$ o cose simili che - anche se comunemente utilizzate - sono un po' troppo semplicistiche. Magari si poteva scrivere
$log(f(z))+2k\pi i=log(g(z))+ 2h\pi i$,
che, secondo me, è una scrittura più corretta ($h,k\in \ZZ$) anche se, come detto, sono infinite uguaglianze che valgono a seconda dei valori che si danno a $h$ o $k$ a seconda del ramo del logaritmo che si sceglie in entrambi i membri.
Se ora deriviamo, otteniamo
$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{g'(z)}{g(z)}$,
poiché i vari $2kpi i$ e $2h\pi i$ sono pur sempre delle costanti e, derivando, se ne vanno...
Ora, in partenza sappiamo che $f(z)=g(z)$ quindi la relazione ottenuta è ancora un'uguaglianza e quindi la derivata logaritmica è lecita perché da un'uguaglianza me ne dà un'altra.
Per le funzioni di variabile reale tutti questi problemi non ci sono perché il logaritmo reale è iniettivo.
... Volevo sapere se è la dimostrazione è giusta o sbagliata o se devo applicare anche a me questo consiglio
.
Risposte
Faccio un ultimo "up" (il secondo a distanza di 4-5 giorni dal primo). Tanto mi sono convinto che quello che dico è giusto (ho cancellato direttamente il precedente "up" sovrascrivendolo con questo, ma ho mantenuto il testo che è quello sotto).
Avrei potuto scrivere, da quella
$log(f(z))+2n\pi i=log(g(z))$, $n\in \ZZ$
che si otteneva portando $2h\pi i$ (oppure $2k \pi i$) nell'altro membro per poi porre $n=k-h$ (oppure $n=h-k$).
Però poi, derivando, scomparirebbe comunque questa costante e resta l'uguaglianza che è valida.
"Zero87":
Magari si poteva scrivere
$log(f(z))+2k\pi i=log(g(z))+ 2h\pi i$,
che, secondo me, è una scrittura più corretta ($h,k\in \ZZ$) anche se, come detto, sono infinite uguaglianze che valgono a seconda dei valori che si danno a $h$ o $k$ a seconda del ramo del logaritmo che si sceglie in entrambi i membri.
Avrei potuto scrivere, da quella
$log(f(z))+2n\pi i=log(g(z))$, $n\in \ZZ$
che si otteneva portando $2h\pi i$ (oppure $2k \pi i$) nell'altro membro per poi porre $n=k-h$ (oppure $n=h-k$).
Però poi, derivando, scomparirebbe comunque questa costante e resta l'uguaglianza che è valida.
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