Liapunov e uso della jacobiana

[ee4]

Ciao a tutti, questo è il primo post che scrivo, da tempo che bazzico e ho visto che questo forum è fatto molto bene.
Arrivo al dunque: dato il sistema:

$x' = -y + a*x*(x^2 + y^2)$
$y' = x + a*y*(x^2 + y^2)$

devo provare che non è conoscibile alcuna proprietà di stabilità se faccio il sistema lineare associato al sistema. Sembra che mi trovi, ma non sono molto sicuro a riguardo

$-y + a*x*(x^2 + y^2) = 0$
$x + a*y*(x^2 + y^2) = 0$

ad 'occhio' vedo che una delle soluzioni delle due equazioni di terzo grado, è la coppia $(x,y) = (0,0)$ quindi l'origine. Devo dimostrare che è un equilibrio critico, uso la jacobiana:

$J = ((3*a*x^2 + a*y^2,-1+2*a*x*y),(1+2*a*y, a*x^2 + 3a*y^2))$

il che si riduce, fatto in $(0,0)$ a:
$J = ((0,-1),(1,0))$
trovo gli autovalori:
$J = ((- lambda,-1),(1,- lambda))$

$(lambda)^2 + 1 = 0$
$ lambda_1 = +i$
$ lambda_2 = -i$

quindi è equilibrio critico, poichè ho trovato almeno un autovalore con parte reale nulla. Ci sono errori?

[ee4]

up

[ELWOOD1]

con entrambi gli autovalori immaginari puri, non puoi dire nulla riguardo alla stabilità del punto fisso

[ee4]

Quindi fin qui ho risolto bene? Ho un'altra domanda, questo sistema può dirsi 'autonomo' dal momento che $x'$ e $y'$ non dipendono esplicitamente dal tempo?

[ELWOOD1]

Si esatto