L'energia libera di Gibbs, dimostrazione rigorosa
Posto qui in analisi perché vorrei capire in modo rigoroso come si arriva a dire [tex]G(p,T,N)=\mu(p,T) N[/tex] (*)
passo ad illustrare la questione:
si definisce [tex]G(p,T,N)=U(S,V,N)+pV-TS[/tex] cioè come trasformata di Legendre di [tex]U[/tex] nelle variabili [tex]S[/tex] e [tex]V[/tex]
dal primo e secondo principio della TD si vede che [tex]dU=T dS-p dV+ \mu dN[/tex]
Da qui ho trovato 2 spiegazioni (sulle dispense del mio prof. non se ne preoccupa neanche e dice che la (*) vale e basta):
1) su delle dispense fa ragionamenti sul fatto che [tex]G[/tex] è una quantità estensiva, allora dovrebbe dipendere linearmente
dall'unica quantità estensiva che c'è e quindi [tex]G=c(p,T) N[/tex], da cui, facendo la derivata parziale, segue la tesi; e questo ragionamento mi può tornare ma non credo sia rigoroso...
2) ho addirittura trovato scritto (non ricordo dove, se un libro o dispense) che integrando [tex]dU[/tex], dato che dipende solo da quantità estensive,
si ottiene [tex]U=TS[/tex]
[Edit] Scusate volevo dire [tex]U=TS+pV+\mu N[/tex] [/Edit]
vorrei aiuto nel capire quanto i ragionamenti 1) e 2) siano "buoni"
in particolare la 2) mi pare un'assurdità perché ad esempio se scelgo [tex]S,V,N[/tex] come variabili indipendenti per [tex]U[/tex] ottengo [tex]T=T(S,V,N)[/tex] e
quando integro [tex]dU[/tex] per portar fuori [tex]T[/tex] dovrei dire che non dipende da [tex]S[/tex]... o sbaglio?
passo ad illustrare la questione:
si definisce [tex]G(p,T,N)=U(S,V,N)+pV-TS[/tex] cioè come trasformata di Legendre di [tex]U[/tex] nelle variabili [tex]S[/tex] e [tex]V[/tex]
dal primo e secondo principio della TD si vede che [tex]dU=T dS-p dV+ \mu dN[/tex]
Da qui ho trovato 2 spiegazioni (sulle dispense del mio prof. non se ne preoccupa neanche e dice che la (*) vale e basta):
1) su delle dispense fa ragionamenti sul fatto che [tex]G[/tex] è una quantità estensiva, allora dovrebbe dipendere linearmente
dall'unica quantità estensiva che c'è e quindi [tex]G=c(p,T) N[/tex], da cui, facendo la derivata parziale, segue la tesi; e questo ragionamento mi può tornare ma non credo sia rigoroso...
2) ho addirittura trovato scritto (non ricordo dove, se un libro o dispense) che integrando [tex]dU[/tex], dato che dipende solo da quantità estensive,
si ottiene [tex]U=TS[/tex]
[Edit] Scusate volevo dire [tex]U=TS+pV+\mu N[/tex] [/Edit]
vorrei aiuto nel capire quanto i ragionamenti 1) e 2) siano "buoni"
in particolare la 2) mi pare un'assurdità perché ad esempio se scelgo [tex]S,V,N[/tex] come variabili indipendenti per [tex]U[/tex] ottengo [tex]T=T(S,V,N)[/tex] e
quando integro [tex]dU[/tex] per portar fuori [tex]T[/tex] dovrei dire che non dipende da [tex]S[/tex]... o sbaglio?
Risposte
Ma non ti basta ricordare che [tex]U=TS-pV+\mu N[/tex] ??
alle non vorrei dire una cavolata (non sono molto lucido in questo momendo 
) ma la tua espressione non mi trova molto convinterrimo...
La 1-forma Energia interna è $dU=TdS-pdV+mudN$...e poichè è esatta per trovare la sua espressione puoi integrare su qualisasi cammino e scegli di seguire quello formato dai tre segmenti prima variando solo S, poi solo V e poi infine solo N...
Quindi la formula è $DeltaU= int_(S_i)^(S_f)T(S,V_i,N_i)dS-int_(V_i)^(V_f)p(S_f,V,N_i)dV+int_(N_i)^(N_f)mu(S_f,V_f,N)dN$ che è molto diversa da quelal scritta da te,...basta fare l'esempio del gas perfetto..
) ma la tua espressione non mi trova molto convinterrimo...La 1-forma Energia interna è $dU=TdS-pdV+mudN$...e poichè è esatta per trovare la sua espressione puoi integrare su qualisasi cammino e scegli di seguire quello formato dai tre segmenti prima variando solo S, poi solo V e poi infine solo N...
Quindi la formula è $DeltaU= int_(S_i)^(S_f)T(S,V_i,N_i)dS-int_(V_i)^(V_f)p(S_f,V,N_i)dV+int_(N_i)^(N_f)mu(S_f,V_f,N)dN$ che è molto diversa da quelal scritta da te,...basta fare l'esempio del gas perfetto..
Così su due piedi mi sa che hai ragione te...però mi ricordo che c'è un discorso sull'intensività/estensività delle variabili... tipo questo...
Ecco, nella critica al punto 2) sopra, intendevo proprio quello che ha detto antani
è vero che l'espressione dell'energia interna è [tex]U=TS+pV+\mu N[/tex]? Ma come si può vedere?
Anche sulle dispense che avevo visto accennava qualcosa sul fatto che si otteneva quella forma dato che [tex]U[/tex] dipende SOLO da variabili estensive... boh?
è vero che l'espressione dell'energia interna è [tex]U=TS+pV+\mu N[/tex]? Ma come si può vedere?
Anche sulle dispense che avevo visto accennava qualcosa sul fatto che si otteneva quella forma dato che [tex]U[/tex] dipende SOLO da variabili estensive... boh?
Ripeto...quell'espressione scritta così non ha alcun senso. Vi ricordo che la termodinamica classica non definisce nemmeno lo 0 dell'entropia, ma permette di calcolare solo variazioni,...Se non sapete nemmeno lo 0 dell'entropia, che espressione ci mettete al postodi quelal S?
PRovate a farvi il conto: la variazione di entropia di un gas perfetto è $ nc_vln((T_B)/(T_A))+nRln((V_B)/(V_A))$,...inoltre sapete che $pV=nRT$......ora come pensereste di dimostrate che l'espressione $TS+pV$ in un gas perfetto è equivalente a $nc_vT$
?
PRovate a farvi il conto: la variazione di entropia di un gas perfetto è $ nc_vln((T_B)/(T_A))+nRln((V_B)/(V_A))$,...inoltre sapete che $pV=nRT$......ora come pensereste di dimostrate che l'espressione $TS+pV$ in un gas perfetto è equivalente a $nc_vT$
?
A me torna che l'espressione di [tex]U[/tex] scritta in quel modo non abbia senso,
ma allora perché i fisici ne fanno uso? Lo fanno solo alcuni perché hanno preso una cantonata pazzesca??!?
ma allora perché i fisici ne fanno uso? Lo fanno solo alcuni perché hanno preso una cantonata pazzesca??!?
Ma infatti non è vero che ne fanno uso...già solo perchè semplicemente perchè scritta così,come ho scritto nel post di prima, non sapresti nemmeno farne l'uso, visto che non sapresti nemmeno cos'è S...Io personalmente, non l'ho mai vista usare 
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