Lemmi di Gauss nel piano
Salve a tutti,
ho un problema con gli appunti del mio prof relativi alla dimostrazione del teorema della divergenza nel piano:
"Sia $Omega$ un dominio aperto x-normale e y-normale con bordo $partialOmega$:
$a<=x<=b$
$alpha(x)<=y<=beta(x)$
Allora $int int_Omega (delf)/(dely) dx dy = int_a^b dx int_(alpha(x))^(beta(x)) (delf)/(dely) (x,y) dy$
$= int_a^b [f(x,beta(x))-f(x,alpha(x))dx] = -{int_a^b f(x,alpha(x))dx + int_b^a f(x,beta(x))dx} = - int_(partialOmega) f dx$
Analogamente si prova che $int int_Omega (delf)/(delx) dx dy = int_(partialOmega) f dy$"
Io sinceramente non mi trovo con il segno più della seconda relazione trovata.
Ho provato a rifare lo svolgimento ma sono in disaccordo con il risultato.
Innanzitutto (credo) potrei scrivere il dominio così:
$a'<=y<=b'$
$alpha'(y)<=x<=beta'(y)$
$int_Omega (delf)/(delx) dx dy = int_(a')^(b') dy int_(alpha'(y))^(beta'(y)) (delf)/(delx) dx$
Poi, come prima, troverei $int_(a')^(b') [f(beta'(y),y) - f(alpha'(y),y)]dy = -{int_(a')^(b') f(alpha'(y),y)dy + int_(b')^(a') f(beta'(y),y)dy}$
che è uguale a $-int_(partialOmega) f dy$
Perchè trovo quel meno di troppo? Dove sbaglio? Per me è abbastanza urgente saperlo perchè a breve ho un esame.
Grazie per la pazienza e l'aiuto.
ho un problema con gli appunti del mio prof relativi alla dimostrazione del teorema della divergenza nel piano:
"Sia $Omega$ un dominio aperto x-normale e y-normale con bordo $partialOmega$:
$a<=x<=b$
$alpha(x)<=y<=beta(x)$
Allora $int int_Omega (delf)/(dely) dx dy = int_a^b dx int_(alpha(x))^(beta(x)) (delf)/(dely) (x,y) dy$
$= int_a^b [f(x,beta(x))-f(x,alpha(x))dx] = -{int_a^b f(x,alpha(x))dx + int_b^a f(x,beta(x))dx} = - int_(partialOmega) f dx$
Analogamente si prova che $int int_Omega (delf)/(delx) dx dy = int_(partialOmega) f dy$"
Io sinceramente non mi trovo con il segno più della seconda relazione trovata.
Ho provato a rifare lo svolgimento ma sono in disaccordo con il risultato.
Innanzitutto (credo) potrei scrivere il dominio così:
$a'<=y<=b'$
$alpha'(y)<=x<=beta'(y)$
$int_Omega (delf)/(delx) dx dy = int_(a')^(b') dy int_(alpha'(y))^(beta'(y)) (delf)/(delx) dx$
Poi, come prima, troverei $int_(a')^(b') [f(beta'(y),y) - f(alpha'(y),y)]dy = -{int_(a')^(b') f(alpha'(y),y)dy + int_(b')^(a') f(beta'(y),y)dy}$
che è uguale a $-int_(partialOmega) f dy$
Perchè trovo quel meno di troppo? Dove sbaglio? Per me è abbastanza urgente saperlo perchè a breve ho un esame.
Grazie per la pazienza e l'aiuto.
Risposte
vince nessuno ti risponde...avrà sbagliato Fausto?
Hai provato a guardare qui? (Sotto: Proof when $D$ is a simple region)
Il problema sta essenzialmente nel tipo di orientamento del tuo bordo. L'orientamento indotto in questo caso è quello antiorario. L'integrale [tex]\int_{\partial \Omega} f dx[/tex] si riduce quindi essenzialmente a calcolare l'integrale sulle regioni $C_1$ e $C_3$ (perché ovviamente sulle due regioni $C_2$ e $C_4$ fa $0$, guardando il link). L'integrale su $C_1$ ha segno positivo ($C_1$ va da $a$ a $b$) mentre quello su $C_3$ ha segno negativo per via dell'orientazione anitoraria ($C_3$ va da $b$ ad $a$).
Ok?
Il problema sta essenzialmente nel tipo di orientamento del tuo bordo. L'orientamento indotto in questo caso è quello antiorario. L'integrale [tex]\int_{\partial \Omega} f dx[/tex] si riduce quindi essenzialmente a calcolare l'integrale sulle regioni $C_1$ e $C_3$ (perché ovviamente sulle due regioni $C_2$ e $C_4$ fa $0$, guardando il link). L'integrale su $C_1$ ha segno positivo ($C_1$ va da $a$ a $b$) mentre quello su $C_3$ ha segno negativo per via dell'orientazione anitoraria ($C_3$ va da $b$ ad $a$).
Ok?
"pat87":
Hai provato a guardare qui? (Sotto: Proof when $D$ is a simple region)
Il problema sta essenzialmente nel tipo di orientamento del tuo bordo. L'orientamento indotto in questo caso è quello antiorario. L'integrale [tex]\int_{\partial \Omega} f dx[/tex] si riduce quindi essenzialmente a calcolare l'integrale sulle regioni $C_1$ e $C_3$ (perché ovviamente sulle due regioni $C_2$ e $C_4$ fa $0$, guardando il link). L'integrale su $C_1$ ha segno positivo ($C_1$ va da $a$ a $b$) mentre quello su $C_3$ ha segno negativo per via dell'orientazione anitoraria ($C_3$ va da $b$ ad $a$).
Ok?
Ciao, grazie della risposta.
Dal link che mi hai proposto ho capito che l'area $int_(partialOmega) f dy$ è di segno opposto rispetto all'area $int_(partialOmega) f dx$
Riprendendo la mia descrizione del dominio, $a'$ sarebbe il minimo di $C_1$, mentre $b'$ sarebbe il massimo di $C_3$.
Analogamente, $alpha'(y)$ è la curva che va da $b'$ ad $a'$ passando per $C_4$, mentre $beta'(y)$ va da $a'$ a $b'$ passando per $C_2$.
In effetti, ora l'area sotto $alpha'(y)$ (per capirci), che è negativa, è minore dell'area sotto $beta'(y)$, che è positiva: la somma è quindi positiva, al
contrario del primo caso dove è negativa.
Il problema è come trovare il segno giusto "formalmente", cioè con i passaggi algebrici: quelli che ho fatto sono sbagliati?
Non capisco il tuo problema: quella su wikipedia è una dimostrazione formale. I tuoi passaggi sono giusti, ma devi anche motivare l'integrazione sul bordo $\partial \Omega$ e la sua orientazione dal fatto che è indotta dall'orientazione della tua superficie $\Omega$ che in questo caso, visto che siamo in $RR^2$, induce un'orientazione antioraria sul tuo bordo.
Finalmente credo di aver capito.
Prendendo sempre come rifermento il link ed il mio dominio, se si mette l'asse x in verticale e quello y in orizzontale verso destra, lasciando invariato il verso di percorrenza l'orientazione che si trova è oraria.
Ora considero l'integrale $-{int_(a')^(b') f(alpha'(y),y)dy + int_(b')^(a') f(beta'(y),y)dy}$
Sia il primo che il secondo pezzo sono percorsi in senso antiorario, ma siccome ora il verso è orario quello che si ottiene è la circuitazione cambiata di segno
di $f$, ovvero $-{-int_(partialOmega) f dy} = int_(partialOmega) f dy$
Prendendo sempre come rifermento il link ed il mio dominio, se si mette l'asse x in verticale e quello y in orizzontale verso destra, lasciando invariato il verso di percorrenza l'orientazione che si trova è oraria.
Ora considero l'integrale $-{int_(a')^(b') f(alpha'(y),y)dy + int_(b')^(a') f(beta'(y),y)dy}$
Sia il primo che il secondo pezzo sono percorsi in senso antiorario, ma siccome ora il verso è orario quello che si ottiene è la circuitazione cambiata di segno
di $f$, ovvero $-{-int_(partialOmega) f dy} = int_(partialOmega) f dy$
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